Tổng Hợp Công Thức Toán 12 Chuyên Đề Thể Tích Chọn Lọc.

Để đạt kết quả cao trong các kì thi trắc nghiệm, việc nắm vững kiến thức là điều kiện không thể thiếu. Tuy nhiên, giới hạn về mặt thời gian đòi hỏi các bạn cần có những kỹ năng khác. Vì vậy hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn Tổng hợp công thức toán 12 chuyên đề thể tích. Đây là một trong những dạng toán chiếm lượng lớn câu hỏi trong các đề thi và kiểm tra trắc nghiệm. Bài viết vừa tóm tắt kiến thức cơ bản, vừa đưa ra ví dụ cụ thể giúp các bạn xâu chuỗi vấn đề một cách toàn diện nhất. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:

I. Tổng hợp công thức toán 12 – Công thức thể tích.

Công thức 1

Cho tứ diện ABCD có: AB=a, CD=b, d(AB,CD)=h, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là α. Khi đó:

VABCD=a.b.h.sin(α)/6

Ví dụ 1 (Chuyên DH Vinh) Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN và PQ của hai đáy sao cho MN⊥PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M,N,P,Q để thu được tứ diện MNPQ. Biết rằng MN=60cm, thể tích khối tứ diện MNPQ là 30dm3. Thể tích khối đá bị cắt bỏ là bao nhiêu (làm tròn đến 1 chữ số thập phân)?tong-hop-cong-thuc-toan-12-01

Hướng dẫn:

Đổi đơn vị MN=60cm=6dm, suy ra PQ=MN=6dm.

Vì MN⊥PQ nên góc giữa hai đường thẳng MN và PQ là α=90°.

Lại có, MN và PQ là hai đường kính của hai đáy, suy ra OO’ là khoảng cách giữa hai đường thẳng trên (do OO’ là đường vuông góc chung của MN và PQ).

Ta áp dụng công thức 1, thu được:

VMNPQ=MN.PQ.sinα.OO’.1/6=62.sin(90°).OO’.1/6=30 dm3, suy ra OO’=5dm.

Thể thích khối đá gọt đi bằng thể tích hình trụ trừ cho thể tích tứ diện MNPQ còn lại:

Vgọt= Vtrụ – VMNPQ=OO’.Sđáy – 30=5.32π−30≈111,4 dm3.

 

Ví dụ 2 (THPTQG 2017): Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB=x, các cạnh còn lại có giá trị 2√3. Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất khi x bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Bài này có 2 cách giải, 1 cách áp dụng công thức 1, cách còn lại là suy luận.

Gọi I, K là trung điểm của CD, AB. Kẻ AH vuông góc với BI.

tong-hop-cong-thuc-toan-12-02

Cách 1: Áp dụng công thức nhanh

Vì cách cạnh của tứ diện trừ AB đều có giá trị 2√3, suy ra BI và AI đều vuông góc với CD (đường trung tuyến của tam giác đều). Suy ra CD⊥(ABI) →AB⊥CD.

Mặt khác, BI=AI=3 (do tam giác BCD và ACD là 2 tam giác đều cạnh 2√3), vậy IK⊥AB, mặt khác IK⊥CD (do CD⊥(ABI)). Vậy IK là đường vuông góc chung của AB và CD, hay IK là khoảng cách giữa AB và CD.

AB=x, suy ra:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-03

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta thu được:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-04

Dấu bằng xảy ra khi x=3√2.

Cách 2: Suy luận tính chất vuông góc.

 Ta có VABCD=Sđáy.h/3

Mà Sđáy=SBCD=3√3 (diện tích tam giác đều).

Suy ra thể tích phụ thuộc vào chiều cao. Lại có: AH≤AI=3. Vậy thể tích lớn nhất khi AH=3, hay nói cách khác, AH≡AI.

Lúc này AH⊥BH. Tam giác BHA vuông tại H, suy ra AB²=AH²+BH², suy ra AB=3√2

Công thức 2: 

Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c. Góc ASB, góc BSC, góc CSA có giá trị lần lượt là α, β, γ. Khi đó thể tích khối chóp:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-05

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SA=a, SB=3a√2, SC=2a√3. Các góc ASB, góc BSC, góc CSA đều bằng 600. Thể tích khối chóp SABC là:

A. 2a3√3

B. 3a3√3

C. a3√3

D. a3√3/3

Áp dụng công thức 2, ta có kết quả trực tiếp là C.

 

Ví dụ 2 (Chu Văn An-Hà Nội)  Cho tứ diện ABCD có AB=a, AC=2a√2, AD=3a. Các góc BAC, góc CAD, góc DAB đều bằng 600. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Hướng dẫn:

Ta áp dụng công thức, thu được V=a3

Công thức 3:

Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn: SA=BC=a, SB=AC=b, SC=AB=c.

Khi đó thể tích khối chóp là:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-06

Ví dụ (Nguyễn Khuyến TPHCM): Tính thể tích của khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh: SA=BC=5, SB=AC=6, SC=AB=7.

Hướng dẫn:

Bài này nếu không sử dụng công thức 3, rất khó để giải.

Áp dụng trực tiếp công thức 3, ta có: V=2√95.

 

Công thức 4: 

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a thì thể tích V=(a3√2)/12.

Công thức này, ta chỉ cần áp dụng trực tiếp vào bài tập tính thể tích khối đa diện đều. Dạng bài này rất hay gặp, các bạn cần chú ý vận dụng.

 

II. Tổng hợp công thức toán 12 – Tỷ số thể tích

Công thức 1:

Cho hình chóp S.ABC, một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P. Khi đó ta có kết quả sau:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-07

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA=2a, SA vuông góc với mặt đáy. Tam giác ABC là tam giác vuông tại B với AB=BC=a. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.AHK.

Hướng dẫn:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-08

Tam giác SAB vuông tại A, suy ra SB=a√5.

Tam giác ABC vuông tại B, suy ra AC=a√2

Tam giác SAC vuông tại A, suy ra SC=a√6

Áp dụng công thức 1 về tỷ số thể tích, ta có:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-08-01

Lại có: SH/SB=SH.SB/SB2=SA2/SB2=4/5

Tương tự SK/SC=SK.SC/SC2=SA2/SC2=2/3

Vậy VSAHK=8a3/45.

 

Công thức 2:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-09

Ví dụ: Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N là trung điểm của SB và SC. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E. Gọi V2 là thể tích của khối chóp S.AMEN và V1 là thể tích khối chóp S.ABCD. Hãy tính tỷ số V2/V1?

Hướng dẫn:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-10

Chú ý, hình chóp tứ giác đều, đồng nghĩa với đáy ABCD là một tứ giác đều.

Sử dụng đẳng thức thứ nhất:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-10-01

Suy ra SC/SE=3, hay SE/SC=1/3

Lại áp dụng biểu thức thứ hai trong công thức 2, ta có:

V2/V1=1/4.1/2.1/2.1.1/3(2+2+1+3)=1/6

Công thức 3:

tong-hop-cong-thuc-toan-12-11

Ví dụ: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích là V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM/AA’=1/2, BN/BB’=CP/CC’=2/3. Tính thể tích khối đa diện ABCMNP?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức 3 về tỷ số thể tích ta có:

Suy ra VABCMNP=11V/18.

Như các bạn đã thấy, việc áp dụng các công thức tính nhanh, bài toán tưởng chừng như khó lại trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Tổng hợp công thức toán 12 chuyên đề hình học đã được Kiến Guru biên soạn và tổng hợp từ nhiều nguồn tin cậy. Hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Trong phòng thi, việc nhớ và áp dụng chúng một cách thuần thục là cách giúp các bạn tiết kiệm rất nhiều thời gian và công sức, đồng thời cũng tăng khả năng chọn đáp án đúng, cải thiện rõ rệt điểm số, vì vậy yêu cầu các bạn thường xuyên rèn luyện và ôn tập nhé. Chúc các bạn may mắn và học tập tốt.

 

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập

Bài viết hay nhất

Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Bánh Đa Bò Nhừ Hải Phòng, 10 Món Ngon Hải Phòng Nhất Định Phải Thử
Cách Nấu Bánh Đa Bò Nhừ Hải Phòng, 10 Món Ngon Hải Phòng Nhất Định Phải Thử
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Hướng Dẫn: 6 Cách Nấu Bò Kho Bằng Thịt Heo, Cách Nấu Bò Kho Ngon Đúng Điệu Chấm Bánh Mì Chuẩn
Hướng Dẫn: 6 Cách Nấu Bò Kho Bằng Thịt Heo, Cách Nấu Bò Kho Ngon Đúng Điệu Chấm Bánh Mì Chuẩn
Giải GDQP- AN 11 bài 2: Luật Nghĩa vụ quân sự và trách nhiệm của học sinh
Tip Phối Đồ Với Giày Mlb Cho Nam Nữ Cực Chất, Beecost Mua Thông Minh
Tip Phối Đồ Với Giày Mlb Cho Nam Nữ Cực Chất, Beecost Mua Thông Minh
Cách Nấu Cháo Bằng Nồi Nấu Chậm Qua Đêm, Bí Quyết Nấu Cháo Cho Bé Cực Nhàn Vẫn Ngon
Cách Nấu Cháo Bằng Nồi Nấu Chậm Qua Đêm, Bí Quyết Nấu Cháo Cho Bé Cực Nhàn Vẫn Ngon
Cách Nấu Cháo Đu Đủ Cho Bé Ăn Đu Đủ Chín, Cháo Đu Đủ Nấu Thịt Và Trứng Gà Cho Bé
Cách Nấu Cháo Đu Đủ Cho Bé Ăn Đu Đủ Chín, Cháo Đu Đủ Nấu Thịt Và Trứng Gà Cho Bé
Cách Nấu Xôi Bằng Nồi Cơm Điện Tử Toshiba, Hướng Dẫn Sử Dụng Nồi Cơm Điện Toshiba
Cách Nấu Xôi Bằng Nồi Cơm Điện Tử Toshiba, Hướng Dẫn Sử Dụng Nồi Cơm Điện Toshiba
Cách Nấu Xương Chó Với Chuối Xanh Ăn Nhanh Kẻo Hết, Công Thức Cách Làm Thịt Chó Nấu Củ Chuối
Cách Nấu Xương Chó Với Chuối Xanh Ăn Nhanh Kẻo Hết, Công Thức Cách Làm Thịt Chó Nấu Củ Chuối
Cách Làm Mỡ Hành Ăn Chuối Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn, Món Chuối Già Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn
Cách Làm Mỡ Hành Ăn Chuối Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn, Món Chuối Già Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn