Toán 11 – Giới hạn của hàm số, cách tính và bài tập áp dụng

Các em cần nắm vững kiến thức lý thuyết về giới hạn của hàm số để vận dụng linh hoạt vào từng dạng toán cụ thể.

A. Tóm tắt lý thuyết về Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt

(c: hằng số)

2. Định lý

a) Nếu:  và  thì:

 

 

 

 

b) Nếu  và  thì:

  và 

c) Nếu  thì 

II. Giới hạn vô cực. Giới hạn ở vô cực

1. Giới hạn đặc biệt

Giới hạn đặc biệt

2. Định lý:

III. Giới hạn 1 bên

 

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:  thì phải tìm cách khử dạng vô định.

* Chú ý: Đối với các hàm lượng giác thì vận dụng tương tự với giới hạn khi x tiến tới vô cùng của sinx/x =1

* Ví dụ 1: Tính giới hạn:

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

 

* Ví dụ 2: Tính các giới hạn

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

 

 * Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực (Quy tắc 1 & Quy tắc 2)

* Ví dụ 3: Tính giới hạn

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

 

 * Phương pháp:

 – Nhóm các nhân tử chung: x – x0

 – Nhân thêm lượng liên hợp

 – Thêm, bớt số hạng vắng.

a)  với  là các đa thức và

 Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

* Ví dụ 4: Tính giới hạn:

•  

b)  với  và  là các biểu thức chứa căn đồng bậc.

– Ta sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử thức và mẫu thức.

* Ví dụ 5: Tính giới hạn:

•  

c)  với  và  là biểu thức chứa căn không đồng bậc.

 Giả sử:  với 

 Ta phân tích: 

* Ví dụ 6: Tìm giới hạn:

 

* Bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên

* Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau:

* Bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên

* Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau:

 

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp:

_ Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

_ Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

* Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

* Phương pháp: Ta thường sử dụng nhân lượng liên hợp cả tử và mẫu

* Ví dụ 2: Tìm các giới hạn

a)

b)

 

 

* Bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm giới hạn sau

* Phương pháp: Sử dụng tổng hợp các phương pháp trên

* Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:

a)

 

b)

 

 

 Do: 

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm giới hạn sau

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

* Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm

 

  Sử dụng cách tính giới hạn của hàm số.

* Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:

° Hướng dẫn:

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:

° Hướng dẫn:

 

 

– Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì:

* Bài tập vận dụng

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra

¤ Bài tập 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới tại điểm được chỉ ra

Hy vọng với phần hướng dẫn chi tiết các dạng toán giới hạn hàm số, bài tập về giới hạn hàm số ở trên giúp các em hiểu rõ về cách tính giới hạn hàm số và vận dụng linh hoạt vào các bài toán, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được giải đáp nhé, chúc các em học tập tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng