Tìm x để biểu thức nguyên, cách giải và bài tập vận dụng

Bài này sẽ hướng dẫn các em cách giải dạng toán: Tìm x để biểu thức nguyên, qua đó vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để các em dễ hiểu hơn.

I. Cách giải bài toán: Tìm x để biểu thức nguyên

Để tìm x để biểu thức nguyên ta cần thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x (phân số thì mẫu số phải khác 0).

+ Bước 2: Nhận biết dạng bài toán để có cách giải tương ứng

– Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.

– Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.

– Với các bài toán tìm đồng thời x, y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.

+ Bước 3: Áp dụng các tính chất để giải quyết bài toán tìm ra đáp án.

hayhochoi

II. Bài tập Tìm x để biểu thức nguyên

* Bài tập 1: Tìm x để biểu thức A nhận giá trị nguyên: 

> Lời giải:

– Điều kiện: x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

– Để A nguyên thì 3 chia hết cho (x – 1) hay (x – 1) là ước của 3

tức là: (x – 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Với: x – 1 = -3 ⇒ x = -2

 x – 1 = -1 ⇒ x = 0

 x – 1 = 1 ⇒ x = 2

 x – 1 = 3 ⇒ x = 4

Hoặc ta có thể lập bảng như sau:



x – 1 -3 -1 1 3
x -2 0 2 4

Các giá trị của x đề thỏa, vậy ta kết luận:

Để A nhận giá trị nguyên thì x thỏa: x ∈ {-2; 0; 2; 4}

* Bài tập 2: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: 

* Lời giải:

– Điều kiện: x ≠ 1

+) Cách 1: Bài toán dạng phân thức tử số chứa biến x, nên ta có thể tách tử số theo mẫu số như sau:

Để B nguyên thì  là số nguyên hay 3 chia hết cho (x – 1) hay (x – 1) là ước của 3, tức là: (x – 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}.

Theo bài tập 1, ta có:



x – 1 -3 -1 1 3
x -2 0 2 4

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì x thỏa: x ∈ {-2; 0; 2; 4}

+) Cách 2: Dùng dấu hiệu chia hết, các bước làm:

i) Tìm điều kiện.

ii) Tử  mẫu và Mẫu  mẫu; nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, một hiệu.

Ta có: (x – 1)    (x – 1) nên 2(x – 1)    (x – 1)  (*)

Để B nguyên thì (2x + 1)    (x – 1)  (**)

Từ (*) và (**) suy ra:  (2x + 1) – 2(x – 1)    (x – 1)

⇔ 3  (x – 1) suy ra (x – 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}



x – 1 -3 -1 1 3
x -2 0 2 4

* Bài tập 3: Tim x để biểu thức C nhận giá trị nguyên: 

> Lời giải:

– Điều kiện: 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1/2 (x ∈ Z)

– Ta có: 

Hay (6x + 4) – (6x + 3)  (2x + 1) ⇒ 1  (2x + 1)

⇒ (2x + 1) ∈ Ư(1) = {-1; 1}

Với 2x + 1 = -1 ⇒ x = -1 (thỏa)

Với 2x + 1 = 1 ⇒ x = 0 (thỏa)

Vậy với x = 0 (khi đó C = 2) hoặc x = -1 (khi đó C = 1) thì biểu thức C nhận giá trị nguyên.

* Bài tập 4: Tim x để biểu thức D nhận giá trị nguyên:

> Lời giải:

– Nhận xét: Ta thấy tử số và mẫu số của D có chứa x, mà hệ số trước x ở tử là 6 lại chia hết cho hệ số trước x ở mẫu là 2, nên ta dùng phương pháp tách tử số thành bội của mẫu số để giải bài này.

– Điều kiện: 2x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 (x ∈ Z)

– Ta có:  

Như vậy để D nguyên thì  nguyên

Suy ra: 1 chia hết cho (3x + 2) hay (3x + 2) ∈ Ư(1) = {-1; 1}

Với 3x + 2 =  -1 ⇒ 3x = -3 ⇒ x = -1 (thỏa)

Với 3x + 2 =  1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3 ∉ Z (loại)

Vậy với x = -1 (khi đó D = 1) thì D nhận giá trị nguyên.

Tìm giá trị nguyên với biểu thức dạng: ax + bxy + cy = d ta làm như sau:

+ Bước 1: Nhóm các hạng tử xy với x (hoặc y)

+ Bước 2: Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích.

* Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy + 3y – 3x = -1

> Lời giải:

– Ta có: y(x + 3) – 3x + 1 = 0 [Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y]

⇔ y(x + 3) – 3(x + 3) + 10 = 0 [phân tích -3x + 1 = -3x – 9 + 10=-3(x + 3) +10]

⇔ (x + 3)(y – 3) = -10

Như vậy có các khả năng xảy ra sau:

 (x + 3) = 1 thì (y – 3) = -10 ⇒ x = -2 và y = -7

 (x + 3) = -10 thì (y – 3) = 1 ⇒ x = -13 và y = 4

 (x + 3) = 2 thì (y – 3) = -5 ⇒ x = -1 và y = -2

 (x + 3) = -5 thì (y – 3) = 2 ⇒ x = -8 và y = 5

Ta có thể lập bảng dễ tính hơn khi x, y có nhiều giá trị.





x + 3 1 -10 2 -5
y – 3 -10 1 -5 2
x -2 -13 -1 -8
y -7 4 -2 5

 

Tìm giá trị nguyên với biểu thức dạng: (a/x) + (b/y) = c ta quy đồng đưa về dạng: Ax + By + Cxy + D =0.

* Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của biểu thức: 

> Lời giải:

– Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0.

– Ta nhân và quy đòng mẫu số chung là 3xy được:

(Bài toán được đưa về dạng ax + by + cxy + d = 0)

⇔ x(3 – y) – 3(3 – y) + 9 = 0

⇔ (x – 3)(3 – y) = -9

Vậy có các trường hợp sau xảy ra:

 (x – 3) = 1 thì (3 – y) = -9 ⇒ x = 4 và y = 12 (thỏa đk)

 (x – 3) = -1 thì (3 – y) = 9 ⇒ x = 2 và y = -6 (thỏa đk)

 (x – 3) = 3 thì (3 – y) = -3 ⇒ x = 6 và y = 6 (thỏa đk)

 (x – 3) = -3 thì (3 – y) = 3 ⇒ x = 0 và y = 0 (loại)

* Bài tập luyện tập 1: Tìm x để các biểu thức sau nguyên:

     

* Bài tập luyện tập 2: Tìm x để các biểu thức sau nguyên:

a) xy + 2x + y = 11

b) 9xy – 6x + 3y = 6

c) 2xy + 2x – y = 8

d) xy – 2x + 4y = 9

Hy vọng với bài viết hướng dẫn cách tìm x để biểu thức nguyên, cách giải và bài tập vận dụng ở giúp các em không còn bỡ ngỡ khi gặp dạng toán này, các em cần ghi nhớ các bước giải để khi gặp dạng toán tương tự để áp dụng nhé.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng