Tích phân từng phần, Công thức cách tính và Bài tập có lời giải

Vậy công thức cách tính Tích phân từng phần như thế nào? Bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng bài tập tính tích phân xác định mà ta phải vận dụng phương pháp tích phân từng phần để giải, qua đó, giải các bài tập minh họa để các em hiểu rõ hơn.

I. Tích phân từng phần, công thức, cách tính

• Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm và liên tục trên [a;b] thì:

 

hay 

• Áp dụng công thức trên ta có cách tính tích phân từng phần như sau:

– Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv’dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v'(x)dx.

– Bước 2: Tính du = u’dx và v = ∫dv = ∫v'(x)dx

– Bước 3: Tính 

> Lưu ý: Phương pháp tích phân từng phần thường được vận dụng khi hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau (đa thức – logarit, đa thức – lượng giác, lượng giác – hàm mũ,…).

II. Một số dạng bài tập vận dụng tích phân từng phần thường gặp

Tính tích phân hàm đa thức P(x) và hàm logarit nepe (lnx): 

– Ta đặt u = lnx, dv = P(x)dx

Tính tích phân hàm đa thức P(x) và hàm lượng giác (sinx; cosx):   hoặc 

– Ta đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx)

Tính tích phân hàm mũ (ex) và hàm lượng giác (sinx; cosx):  hoặc 

– Ta đặt u = ex , dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx). Tính hai lần

• Tính tích phân hàm mũ (ex) và hàm đa thức  P(x): 

– Ta đặt u = P(x) , dv = exdx

III. Bài tập tích phân từng phần có lời giải

* Bài tập 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần

    

      

* Lời giải:

 

Đặt 

 

– Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

 

 

  

  

 

– Đặt 

 

– Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:

 

 

Vậy B = 2.

– Đặt

 

– Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được

 

 

Vậy 

– Đặt 

 

– Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:

– Xét: 

– Đặt 

 

  

  

 

  

* Bài tập 2: Tính tích phân sau:

   

* Lời giải:

– Ta đặt: 

– Khi đó, ta có:

  

– Ta có: 

 

 

– Ta đặt: 

 

– Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được:

  

* Bài tập 3: Tích các tích phân

   

* Lời giải:

– Đặt 

 

– Áp dụng công thức tích phân từng phần:

 

  

    

 

– Đặt 

  

 

 

 

 

 

IV. Bài tập tích phân từng phần tự giải

* Bài tập 1: Tính các tích phân sau:

     

     

* Bài tập 2: Tính các tích phân sau:

     

* Hướng dẫn:

a) Đặt  sau đó đổi cận và vận dụng tích phân từng phần.

b) Ta có:  sau đó vận dụng tích phân từng phần.

* Bài tập 3: Tính các tính phân sau:

     

   

* Bài tập 4: Tính các tính phân sau:

     

* Hướng dẫn:

a) Đặt u = ln(cosx)dx → du = (-sinx/cosx)dx,

 dv = cos2xdx → v = sin2x/2

b) Đặt u = ln(x2 – x) → du =?; dv = dx → v = ?

Như vậy, với nội dung bài viết về tích phân từng phần và bài tập có lời giải ở trên, việc quan trọng nhất là các em cần nhớ đặt u là gì và dv là gì để thuận tiện việc tính được du và chọn nguyên hàm v. Thông thường nếu đặt đúng u và dv thì ta sẽ thấy tích phân thu được sẽ dễ tính hơn, nếu đặt sai thì tích phân thu được sẽ khó hơn tích phân ban đầu.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng