Phương trình mũ, bất phương trình mũ và bài tập áp dụng

Các em đã ôn tập về luỹ thừa trong bài hướng dẫn trước, trong phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về phương trình mũ và bất phương trình mũ. Nếu các em chưa nhớ các tính chất của hàm số mũ, các em có thể xem lại Tại Đây

A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. Phương trình mũ cơ bản

+ Là dạng phương trình ax = b;  (*), với a, b cho trước và 0<a≠1

– Nếu b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm

– Nếu b>0:  (0<a≠1; b>0)

II. Phương pháp giải Phương trình mũ và Bất phương trình mũ

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

– Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

 af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc 

– Logorit hoá và đưa về cùng cơ số:

* Dạng 1: Phương trình af(x) = b ⇔ 

* Dạng 2: Phương trình:

 af(x) = bg(x) ⇔  ⇔ 

 hoặc:  ⇔

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

⇔ 

⇔ x2 – x + 8 = 2 – 6x

⇔ x2 + 5x + 6 = 0

⇔ x= -2 hoặc x = -3

b) 

⇔ 

⇔  

⇔  

⇔ x = 1

2. Phương pháp dùng ẩn phụ

* Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:

B1: Đưa PT, BPT về dạng ẩn phụ quen thuộc.

B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ.

B3: Giải PT, BPT với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện.

B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT, BPT mũ cơ bản

B5: Kết luận.

hayhochoivn

* Loại 1: Các số hạng trong PT, BPT có thể biểu diễn qua af(x) nên đặt t = af(x).

– Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 1: Aa2f(x) + Baf(x) + C = 0 ⇒  bậc 2 ẩn t.

+ Dạng 2: Aa3f(x) + Ba2f(x) + Caf(x) + D = 0 ⇒ bậc 3 ẩn t.

+ Dạng 3: Aa4f(x) + Ba2f(x) + C = 0 ⇒  trùng phương ẩn t.

> Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

* Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với af(x) và bf(x).

– Hay gặp một số dạng sau:

  + Dạng 1: Aa2f(x) + B(a.b)f(x) + Cb2f(x) = 0 

⇒  Chia 2 vế cho a2f(x) đưa về loại 1 dạng 1

  + Dạng 2: Aa3f(x) + B(a2.b)f(x) + C(a.b2)f(x) + D.b3f(x) = 0 

⇒  Chia 2 vế cho a3f(x) đưa về loại 1 dạng 2

º Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho an.f(x) hoặc bn.f(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt Sau khi chia ta sẽ đưa được Pt về loại 1.

Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

+ Dạng 1: A.af(x) + B.bf(x) + C = 0  với a.b=1

⇒  Đặt ẩn phụ t =  af(x) ⇒ bf(x) = 1/t

+ Dạng 2: A.af(x) + B.bf(x) + C.cf(x)  = 0  với a.b=c2.

⇒  Chia 2 vế của Pt cho cf(x) và đưa về dạng 1.

3. Phương pháp logarit hóa

+ Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa)

+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng af(x).bg(x).ch(x)=d (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

– Xét bất phương trình ax > b

     – Nếu b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 với mọi x∈R 

     – Nếu b>0, thì BPT tương đương với ax >

– Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab

– Nếu 0 <a < 1 thì nghiệm của bất PT là  x < logab

2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số

3. Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

C. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT MŨ

* Giải phương trình mũ áp dụng Phương pháp đưa về cùng cơ số

* Bài tập 1: Giải các phương trình mũ sau

a) 2-x=28     b) 2-x=8

c)      d) 

* Lời giải:

a) 2-x=28 ⇔ -x =8 ⇔ x =-8

b) 2-x=8 ⇔ 2-x= 23 ⇔ -x =3 ⇔ x =-3

c)  ⇔ x– 3x + 2 = x+2 ⇔ x– 3x – x + 2 – 2 = 0

⇔ x– 4x = 0 ⇔ x(x – 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4

d)  ⇔ -2 – x2 = 3x ⇔ x2 + 3x + 2 =0 ⇔ x=-1 hoặc x = -2

(cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a – b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm còn lại x = -c/a = -2)

* Bài tập 2: Giải các phương trình mũ sau

a)          b)          c) 2x+1 + 2x-2 = 36

* Lời giải:

a)  ⇔ x2 – 3x – 2 = -2 ⇔ x2 – 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

b)  ⇔ x2 – 3x + 1 = -1 ⇔ x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

(cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm còn lại x = c/a = 2)

c) 2x+1 + 2x-2 = 36 ⇔ 2.2x + 2x/4 = 36 ⇔ 8.2x + 2x = 144

⇔ 9.2x = 144 ⇔ 2x = 16 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4

* Giải phương trình mũ áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ

* Bài tập 3: Giải các phương trình mũ sau

a) 9x – 4.3x + 3 = 0

b) 9x – 3.6x + 2.4x = 0

c) 5x + 51-x -6 = 0

d) 25x -2.5x – 15 = 0

* Lời giải:

a) 9x – 4.3x + 3 = 0 đặt t = 3x với t>0 ta được phương trình: t2 – 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 (2 nghiệm đều thoả điều kiện t>0).

với t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x=0

với t = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1

b) 9x – 3.6x + 2.4x = 0 chia 2 vế của phương trình cho 4x ta được phương trình sau

⇔  đặt  t = (3/2)x với t>0 ta được phương trình

t2 – 3.t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 (2 nghiệm đều thoả t>0)

với t = 1 ⇔ (3/2)x = 1 ⇔ x=0

với t = 2 ⇔ (3/2)x = 2 ⇔ 

c) 5x + 51-x -6 = 0 ⇔ 5x + 5.5-x -6 = 0

Đặt t = 5x (với t>0) thì 5-x = 1/t ta được phương trình:

 ⇔ t =1 hoặc t =5 (thoả điều kiện t>0)

với t = 1 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0

với t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x=1

d) d) 25x -2.5x – 15 = 0 ⇔ 52x – 2.5x – 15 = 0 đặt t = 5x với t>0 ta được phương trình

t2 – 2t – 15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = -3 (loại)

với t = 5 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0

* Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá

* Bài tập 4. Giải các phương trình mũ sau

a) 3x = 2         b) 2x.3x = 1

* Lời giải:

a) 3x = 2  ta logarit cơ số 3 hay vế

Pt ⇔ log33x = log32 ⇔ x = log32

b) 2x.3x = 1 ⇔ (2.3)x = 1 ⇔ 6x = 1 ⇔ log66x =log61 ⇔ x = 0

hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được

Pt ⇔ log2(2x.3x) = log21 ⇔ log2(2x.3x) = 0 ⇔ log22x + log23x = 0

 ⇔ x+ x.log23 = 0 ⇔ x(1+ log23) = 0 ⇔ x = 0

* Giải các bất phương trình mũ sau

* Bài tập 5: Giải bất phương trình

a) 2x-1 < 5         b) 0,3x+2>7

c)  > 4x-1         d) 271-2x

e)  >        f)  ≥ 

* Lời giải:

a) 2x-1 < 5 ⇔ x – 1 < log2

 ⇔ x < 1+log25

 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: 

b) 0,3x+2>7 ⇔ x + 2 < log0,3

 ⇔ x < -2 + log0,37

 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: 

c) Ta có: BPT ⇔  x2+3x-4 > 2(x-1) 

⇔  x2 + x – 2 > 0 ⇔  x<-2 hoặc x>1

 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: 

d) BPT ⇔ 33(1-2x) < 3(-1) 

⇔ 3-6x<-1 ⇔ 6x-4>0 ⇔ x>(2/3)

 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: 

e) BPT ⇔  >  ⇔  > -2(2-x) 

⇔ x > 8(x-2) ⇔ 16 > 7x ⇔ x < 16/7

 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: 

f) Ta có: 

 ⇔

Khi đó ta có BPT ⇔  ≥  ⇔  ≥ 

 ⇔ x-1 ≥ x2-3 ⇔ -x2 + x + 2 ≥ 0 ⇔ -1≤x≤2

 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: 

* Bài tập 6. Giải các PT, BPT mũ sau (tự giải)

a) 36x – 3.30x +2.25x = 0

b) 3x+1 = 5x-2

c) 52x+1 – 7x+1 = 52x + 7x

d)  > 32

e)  > 3-2

f) 9x – 3.6x + 2.4x > 0

g) 25x – 6.5x +5 > 0

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Hướng Dẫn Cách Phối Đồ Đi Đà Lạt Cho Nữ Lùn, Đi Đà Lạt Mặc Gì Đẹp
Hướng Dẫn Cách Phối Đồ Đi Đà Lạt Cho Nữ Lùn, Đi Đà Lạt Mặc Gì Đẹp
Top 20 Cách Phối Đồ Cho Nữ Béo Bụng, Học Ngay 10 Cách Phối Đồ Cho Người Béo Bụng
Top 20 Cách Phối Đồ Cho Nữ Béo Bụng, Học Ngay 10 Cách Phối Đồ Cho Người Béo Bụng
Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Hướng Dẫn Cách Nấu Nước Lá Vối Tươi Ngon Nhất, Bí Quyết Pha Nước Lá Vối Tươi Ngon
Hướng Dẫn Cách Nấu Nước Lá Vối Tươi Ngon Nhất, Bí Quyết Pha Nước Lá Vối Tươi Ngon
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Mách Nàng 13 Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Hè, 31 Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Đẹp Siêu Sang Trọng
Mách Nàng 13 Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Hè, 31 Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Đẹp Siêu Sang Trọng
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Top 20+ Cách Phối Đồ Cho Người Lùn Mập Nữ Trở Lên Thon Gọn
Top 20+ Cách Phối Đồ Cho Người Lùn Mập Nữ Trở Lên Thon Gọn
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
20 Cách Phối Đồ Nam Đi Chơi Vừa Chất Vừa Trẻ Trung, Gợi Ý Cách Phối Đồ Nam Đẹp Theo Nhiều Phong Cách
20 Cách Phối Đồ Nam Đi Chơi Vừa Chất Vừa Trẻ Trung, Gợi Ý Cách Phối Đồ Nam Đẹp Theo Nhiều Phong Cách