Phương trình chứa dấu Giá trị tuyệt đối và cách giải

Trong bài viết này, chúng ta cùng ôn lại cách giải một số dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Qua đó vận dụng làm bài tập để rèn luyện kỹ năng giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Giá trị tuyệt đối

• Với a ∈ R, ta có: 

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

a) Định nghĩa:

– Nhị thức bậc nhất của x là biểu thức có dạng f(x) = ax + b, trong đó a,b là các số cho trước và a ≠ 0.

– Số x0 = -b/a thỏa mãn f(x0) = 0 gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x).

b) Quy tắc dấu:

– Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với a khi x > x0; và trái dấu với a khi x < x0; cụ thể:

¤ Nếu a > 0 thì f(x) > 0, ∀x > x0 và f(x) < 0,  ∀x < x0 như bảng sau:

 dấu của nhị thức bậc 1

¤ Nếu a < 0 thì f(x) < 0, ∀x > x0 và f(x) > 0,  ∀x < x0 như bảng sau:

 dấu của nhị thức bậc 1h2

* Cách nhớ: Để ý bên phải nghiệm x0 thì f(x) cùng dấu với a, bên trái nghiệm x0 thì f(x) khác dấu với a, nên cách nhớ là: “Phải cùng, Trái khác”

II. Các dạng toán phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

° Dạng 1: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = k

* Phương pháp giải:

• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = k, (trong đó P(x) là biểu thức chứa x, k là 1 số cho trước) ta làm như sau:

– Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức (trị tuyệt đối của mọi số đều không âm).

– Nếu k = 0 thì ta có |P(x)| = 0 ⇔ P(x) = 0

– Nếu k > 0 thì ta có: 

* Ví dụ: Giải phương trình sau:

a)     b)

° Lời giải:

a)

   hoặc 

•TH1:  

•TH2:  

– Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 17/8 và x = 7/8.

b)  

 

  hoặc 

• TH1: 

• TH2: 

– Kết luận: Có 2 giá trị của x thỏa điều kiện là x = 1 hoặc x = 3/4.

* Ví dụ 2: Giải và biện luận theo m phương trình |2 – 3x| = 2m – 6. (*)

° Lời giải:

– Nếu 2m – 6 < 0 ⇒ m < 3 thì pt (*) vô nghiệm

– Nếu 2m – 6 = 0 ⇒ m = 3 thì pt (*) trở thành

 |2 – 3x| = 0 ⇔ 2 – 3x = 0 ⇔ x = 2/3. (Phương trình có nghiệm duy nhất).

– Nếu 2m – 6 > 0  ⇒ m > 3 thì pt (*)

 

(Phương trình có 2 nghiệm)

• Kết luận: m = 0 pt(*) vô nghiệm

 m = 3 pt(*) có nghiệm duy nhất x =2/3

 m > 3 pt(*) có 2 nghiệm x = (8-2m)/3 và x = (2m-4)/3.

° Dạng 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = |Q(x)|

* Phương pháp giải:

• Để tìm x trong bài toán dạng dạng |P(x)| = |Q(x)|, (trong đó P(x) và Q(x)là biểu thức chứa x) ta vận dụng tính chất sau:

  tức là: 

* Ví dụ: Tìm x biết:

a)|5x – 4| = |x + 4|

b)|7x – 1| – |5x + 1| = 0

* Lời giải:

a)|5x – 4| = |x + 4|

 

– Vậy x = 2 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán

b)|7x – 1| – |5x + 1| = 0 ⇔ |7x – 1| = |5x + 1|

 

– Vậy x = 1 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán.

° Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = Q(x)

* Phương pháp giải:

• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = Q(x) (*), (trong đó P(x) và Q(x)là biểu thức chứa x) ta thực hiện 1 trong 2 cách sau:

* Cách giải 1:

  hoặc  

* Cách giải 2: 

 hoặc 

* Ví dụ 1 (Bài 36 trang 51 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) |2x| = x – 6.     b) |-3x| = x – 8

c) |4x| = 2x + 12.     d) |-5x| – 16 = 3x

° Lời giải:

a) |2x| = x – 6 (1)

* Sử dụng cách giải 1:

– Ta có: |2x| = 2x khi x ≥ 0

 |2x| = -2x khi x < 0.

– Với x ≥ 0 phương trình (1) ⇔ 2x = x – 6 ⇔ x = -6

 Giá trị x = -6 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên không phải nghiệm của (1)

– Với x < 0 phương trình (1) ⇔ -2x = x – 6 ⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2.

 Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên không phải nghiệm của (1).

+ Kết luận: Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Sử dụng cách giải 2:

– Ta có: x – 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 6.

  hoặc 

  hoặc 

– Ta thấy x = -6 và x = 2 đều không thỏa điều kiện x ≥ 6 nên pt(1) vô nghiệm.

– Kết luận: Phương trình vô nghiệm

b) |-3x| = x – 8 (2)

– Ta có: |-3x| = -3x khi -3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.

 |-3x| = -(-3x) = 3x khi -3x < 0 ⇔ x > 0.

– Với x ≤ 0 phương trình (2) ⇔ -3x = x – 8 ⇔ -4x = -8 ⇔ x = 2

 Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên không phải nghiệm của (2).

– Với x > 0 Phương trình (2) ⇔ 3x = x – 8 ⇔ 2x = -8 ⇔ x = -4.

 Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 0 nên không phải nghiệm của (2).

– Kết luận: Phương trình (2) vô nghiệm.

c) |4x| = 2x + 12 (3)

– Ta có: |4x| = 4x khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

 |4x| = -4x khi 4x < 0 ⇔ x < 0.

– Với x ≥ 0  phương trình (3) ⇔ 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6.

 Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên là nghiệm của (3)

– Với x < 0 phương trình (3) ⇔ -4x = 2x + 12 ⇔ -6x = 12 ⇔ x = -2.

 Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên là nghiệm của (3).

– Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 6 và x = -2.

d) |-5x| – 16 = 3x (4)

– Ta có: |-5x| = -5x khi -5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.

|-5x| = -(-5x) = 5x khi -5x < 0 ⇔ x > 0.

– Với x ≤ 0 phương trình (4) ⇔ -5x – 16 = 3x ⇔ -5x – 3x = 16 ⇔ -8x = 16 ⇔ x = -2.

 Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên là nghiệm của (4).

– Với x > 0 phương trình (4) ⇔ 5x – 16 = 3x ⇔ 5x – 3x = 16 ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

 Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên là nghiệm của (4).

– Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nghiệm x = -2 và x = 8.

* Ví dụ 2 (Bài 37 trang 51 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) |x – 7| = 2x + 3.   b) |x + 4| = 2x – 5

c) |x+ 3| = 3x – 1.     d) |x – 4| + 3x = 5

° Lời giải:

a) |x – 7| = 2x + 3 (1)

– Ta có: |x – 7| = x – 7 khi x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7.

 |x – 7| = -(x – 7) = 7 – x khi x – 7 < 0 ⇔ x < 7.

– Với  x ≥ 7 phương trình (1) ⇔ x – 7 = 2x + 3 ⇔ x = -10.

 Giá trị x = -10 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 7 nên không phải nghiệm của (1).

– Với x < 7 phương trình (1) ⇔ 7 – x = 2x + 3 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = 4/3

 Giá trị x = 4/3 thỏa mãn điều kiện x < 7 nên là nghiệm của (1)

– Kết luận: Phương trình (1) có một nghiệm x = 4/3.

b) |x + 4| = 2x – 5 (2)

– Ta có: |x + 4| = x + 4 khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4.

 |x + 4| = -(x + 4) = -x – 4 khi x + 4 < 0 ⇔ x < -4.

– Với x ≥ -4 phương trình (2) ⇔ x + 4 = 2x – 5 ⇔ x = 9

 Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ -4 nên là nghiệm của (2).

– Với x < -4 phương trình (2) ⇔ –x – 4 = 2x – 5 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1/3

 Giá trị x = 1/3 không thỏa mãn điều kiện x < -4 nên không phải nghiệm của (2)

– Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 9.

c) |x + 3| = 3x – 1 (3)

– Ta có : |x + 3| = x + 3 khi x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3.

 |x + 3| = -(x + 3) = -x – 3 khi x + 3 < 0 ⇔ x < -3.

– Với x ≥ -3 phương trình (3) ⇔ x + 3 = 3x – 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.

 Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3 nên là nghiệm của phương trình (3).

– Với x < -3 thì phương trình (3) ⇔ -x – 3 = 3x – 1 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = -1/2.

 Giá trị x = -1/2 không thỏa mãn điều kiện x < -3 nên không phải nghiệm của (3).

– Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 2.

d) |x – 4| + 3x = 5 (4)

– Ta có: |x – 4| = x – 4 nếu x ≥ 4

 |x- 4| = -(x – 4) = 4 – x nếu x – 4 < 0 ⇔ x < 4

– Với x ≥ 4 phương trình (4) ⇔ x – 4 + 3x = 5 ⇔ 4x = 9 ⇔ x = 9/4

 x = 9/4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 4 nên không là nghiệm của phương trình (4).

– Với x < 4 Phương trình (4) ⇔ 4 – x + 3x = 5 ⇔ 4 + 2x = 5 ⇔ 2x = 1 ⇔ x=1/2.

 x = 1/2 thỏa mãn điều kiện x < 4 nên x = 1/2 là nghiệm của (4).

– Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x=1/2.

° Dạng 4: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = C(x)

* Phương pháp giải:

• Để giải phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = C(x) (*), (trong đó A(x), B(x) và C(x)là biểu thức chứa x) ta thực hiện như sau:

– Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối

– Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu GTTĐ

– Căn cứ bảng xét dấu, chia từng khoảng để giải phương trình (sau khi giải được nghiệm đối chiếu nghiệm với điều kiện tương ứng).

* Ví dụ: Giải phương trình: |x + 1| + |x – 3| = 2x – 1

° Lời giải:

– Ta có: |x + 1| = x + 1 nếu x ≥ 1

 |x + 1| = -(x + 1) nếu x < 1

– Tương tự: |x – 3| = x – 3 nếu x ≥ 3

 |x – 3| = -(x – 3) nếu x < 3

– Từ đó ta có bảng sau:

 lập bảng xét dấu khử trị tuyệt đối

-TH1: Nếu x < -1 thì phương trình (2) trở thành:

 -x – 1 – x + 3 = 2x – 1 ⇔ x = 3/4 (không thỏa mãn đk x < -1)

-TH2: Nếu -1 ≤ x ≤ 3 thì phương trình (2) trở thành:

 x + 1 – x + 3 = 2x – 1 ⇔ x = 5/2 (thỏa điều kiện -1 ≤ x ≤ 3)

-TH3: Nếu x > 3 thì phương trình (2) trở thành:

 x + 1 + x – 3 = 2x – 1 ⇔ 0x = 1 (vô nghiệm)

– Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 5/2.

° Dạng 5: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)|

* Phương pháp giải:

• Để giải pt trị tuyết đối dạng |A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)| ta dựa vào tính chất:

 |A(x) + B(x)| ≤ |A(x)| + |B(x)| nên phương trình tương đương với điều kiện đẳng thức A(x).B(x) ≥ 0.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: |x + 5| + |3 – x| = 8

° Lời giải:

– Ta có: 8 = |x + 5 + 3 – x| ≤ |x + 5| + |3 – x|, ∀x ∈ R.

– Nên |x + 5| + |3 – x| = 8 ⇔ (x + 5)(3 – x) ≥ 0.

– Ta có bảng xét dấu sau:

 vd1 dạng toán 5 pt chứa dấu giá trị tuyệt đối

– Từ bảng xét dấu, ta có: (x + 5)(3 – x) ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 3.

– Vậy bất pt có tập nghiệm là: S = {x ∈ R| -5 ≤ x ≤ 3} hoặc có thể viết S = [-5;3].

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: |5x + 1| + |3 – 2x| = |4 + 3x|

° Lời giải:

– Ta có: |4 + 3x| = |5x + 1 + 3 – 2x| ≤ |5x + 1| + |3 – 2x|. Nên

 |5x + 1| + |3 – 2x| = |4 + 3x| ⇔ (5x + 1)(3 – 2x) ≥ 0.

– Ta có bảng xét dấu:

 vd2 dạng toán 5 pt chứa dấu giá trị tuyệt đối

– Từ bảng xét dấu, ta có: (5x + 1)(3 – 2x) ≥ 0 

– Vậy tập nghiệm của bất pt là: .

III. Một số bài tập về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau:

1) |-4x| = x + 2

2) |2 – x| = 2 – 3x

3) 2x – |6x – 7| = -x + 8

4) 

5) |x2 – 2x| = x

6) |x+ 4x – 5| = x2 – 1

7) 

8) 

9) 

10) |2x + 1| = |x – 1|

11) |1 + 4x| – |7x – 2| = 0

12) |2x2 + 5x – 10| = 2x2 + 1

13) |x – 2| + |x – 3| = 1

14) |2x + 3| – |x| + x – 1 = 0

15) |x + 1| – 2|x – 1| = x

* Đáp số:

1) S = {-2/5;2/3}; 2) S = {0}; 3) S = ∅; 4) S = {1/8};

5) S = {0; 1; 3}; 6) S = {-3; 1}; 7) S = {2}; 8) S = {-4/3;4};

9) S = {-4}; 10) S = {-2; 0} 11) S = {1/11; 1};

12) S = {-9/4; 1; 11/5}; 13) S = [2;3]; 14) S = {-1/2}; 15) S = {1/2;3/2}.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng