Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định

Phương pháp nguyên hàm từng phần được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm phức tạp như hàm vừa chứa hàm lượng giác và hàm vô tỉ, hay hàm vừa chứa hàm vô tỉ và hàm logarit cơ số e, hay hàm mũ e. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

I. Cách tính tích phân bất định bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

– Nếu 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

  

– Công thức nguyên hàm từng phần viết gọn: 

II. Một số dạng toán tính tính phân bất định (tìm nguyên hàm) sử dụng nguyên hàm từng phần

Dạng 1:  hoặc  hoặc  trong đó  là đa thức.

* Phương pháp: Đặt   hoặc  hoặc 

• Dạng 2:  hoặc  trong đó  là đa thức.

* Phương pháp: Đặt  hoặc 

Dạng 3:  hoặc   trong đó 

* Phương pháp: Đặt  hoặc 

• Lưu ý khi sử dụng nguyên hàm từng phần:

– Ưu tiên đặt u là ‘nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ’ phần còn lại đặt là dv.

– Đối với nguyên hàm có chứa lượng giác và mũ có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác – mũ hoặc người lại đều được và phải sử dụng 2 lần tích phân từng phần và phải thống nhất theo cùng thứ tự, nếu không sẽ xảy ra trường hợp đi vòng I = I.

– Số lần thực hiện tích phân từng phần phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức cụ thể:

  ◊ Nếu trong biểu thức tính nguyên hàm có  thì phải tính tính phân từng phần n lần.

  ◊ Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n (không có hàm logarit) thì cũng phải tính tích phân từng phần n lần.

 Ví dụ 1 (áp dụng Dạng 1): Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) 

* Lời giải: Đặt 

– Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:  

 ⇔

b) 

* Lời giải: Đặt 

– Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

   

c) 

* Lời giải: Đặt 

⇒  

Với  ta áp dụng tiếp tích phân từng phần với 

 Đặt:

⇒  

– Thay  vào  ta được kết quả: 

  

* Nhận xét: Ta thấy tích phân chứa đa thức bậc 2 (x2) nên ta phải tính tính phân từng phần 2 lần.

d) 

* Lời giải: Đặt

 

– Với  ta tiếp tục áp dụng tích phân từng phần cho 

 Đặt:

 

– Thế  vào  ta được kết quả:  

e) 

* Lời giải:  Đối với bài toán này ta cần hạ bậc hàm lượng giác trước để đưa và dạng cơ bản áp dụng tích phân từng phần, ta có:

    

– Ta có:  áp dụng tích phân từng phần:

 Đặt: 

⇒  

– Thế  vào  ta được kết quả:  

 Ví dụ 2 (áp dụng Dạng 2): Dùng phương nguyên hàm từng phần tính tích phân bất định của các nguyên hàm sau:

a)

* Lời giải: Đặt 

  

b) 

* Lời giải: Đặt 

⇒  

c)

* Lời giải:

– Ta có:  

– Đặt: 

⇒  

d) 

* Lời giải:

– Ta có: 

– Đặt: 

 

 Ví dụ 3 (áp dụng dạng 3): Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

a) 

* Lời giải: Bài toán này sẽ vận dụng linh hoạt tích phân từng phần

– Đặt: 

⇒ 

– Áp dụng tích phân từng phần cho J

 Đặt: 

⇒ 

⇒ 

+C

b) 

* Lời giải:

– Ta có:   

– áp dụng nguyên hàm từng phần với :

– Đặt: 

 

– áp dụng nguyên hàm từng phần với 

– Đặt: 

⇒ 

⇒  

⇒ 

⇒ 

 

c) 

* Lời giải: Bài này áp dụng cả phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần

– Đặt:  

– Đặt: 

– Ta có: 

– Thay  ta được: 

III. Bài tập tìm nguyên hàm sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính

a) 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12:

a) 

– Đặt: 

⇒   

  

 

b) 

– Đặt: 

 

– áp dụng nguyên hàm từng phần cho :

– Đặt: 

⇒   

⇒  

c) 

– Đặt:  

⇒   

d) 

– Đặt: 

⇒   

* Bài tập luyện tập phương pháp nguyên hàm

Bài 1: Tính nguyên hàm của các hàm sau:

a)      b)  

c)      d) 

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

a)      b) 

c)     d) 

Bài 3: Xác định nguyên hàm của các hàm sau:

a)    b) 

c)     d) 

Bài 4: Xác định nguyên hàm của các hàm sau:

a)      b) 

Hy vọng với bài viết về cách tính tích phân bất định (tìm nguyên hàm) bằng phương pháp tích phân từng phần ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng