Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Bài viết này, chúng ta cùng ôn tập lại cách dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Qua đó làm một số bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này nhé các em.

* Bài toán thường có dạng:

i) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

ii) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.

– Ở đây chúng ta tập trung vào nội dung chính là biện luận theo m số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số (bài cho sẵn đồ thị, hoặc chúng ta đã khảo sát và vẽ đồ thị của (C)).

* Phương pháp giải

– Bước 1: Biến đổi phương trình g(x;m) = 0 về dạng:

 f(x) = m; f(x) = h(m); f(x)= kx+m; f(x)=m(x-a)+b.

 Trong đó k, a, b là các hằng số và h(m) là hàm số theo tham số m

– Bước 2: Khi đó vế trái là hàm f(x) có đồ thị (C) đã biết. Vế phải có thể là:

• y = m là đường thẳng luôn vuông góc với trục Oy

• y = h(m) cũng là đường thẳng vuông góc với Oy.

• y = kx + m là đường thẳng song song với đường thẳng y = kx và cắt trục Oy tại điểm M(0; m).

• y = m(x – a) + b là đường thẳng luôn đi qua điểm cố định I(a; b) và có hệ số góc là m. Do đó đường thẳng ấy quay quanh điểm I.

– Bước 3: Dựa vào đồ thị (C) và ta sẽ biện luận theo m số nghiệm phương trình (giao điểm của đường thẳng và (C)).

* Một số bài tập minh họa biện luận theo m số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị

* Ví dụ 1: Cho hàm số  y = x³ + 3x² – 2

a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình x³ + 3x² – 2 – m = 0.

° Lời giải:

a) Các em có thể tự làm, các bước tóm tắt như sau:

 y’ = 3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

 y” = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1

– Đồ thị có điểm cực đại là (-2;2), cực tiểu là (0;-2) và điểm uốn là (-1;0).

– Biểu diễn đồ thị sẽ như sau:

b) Ta có: x³ + 3x² – 2 – m = 0 ⇔ x³ + 3x² – 2 = m (dạng f(x) = m). (*)

• f(x) = x³ + 3x² – 2 là đồ thị đã có ở trên, số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m.

– Nên từ đồ thị hàm số ta có thể biện luận số nghiệm của phương trình (*) như sau:

– Với m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm

– Với m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình (*) có 3 nghiệm

– Với m = – 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với m < -2 phương trình (*) có 1 nghiệm

• Hoặc có thể viết gọn như sau:

– Với m < -2 hoặc m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm (đơn)

– Với m = -2 hoặc m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình 2 có 3 nghiệm (đơn).

* Ví dụ 2 (Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12): 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ – 6x² + 3 = m.

° Lời giải:

a) Khảo sát: 

¤ TXĐ: D = R

¤ Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

 f'(x) = 2x³ – 6x = 2x(x² – 3)

 f'(x) = 0 ⇔ 2x(x² – 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực: 

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số dạng như sau:

b) Ta có: f”(x) = 6x² – 6 = 6(x² – 1)

 f”(x) = 0 ⇔ 6(x² – 1) ⇔ x = ±1 ⇒ y = -1

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là: y = f'(-1)(x + 1) – 1 ⇒ y = 4x + 3

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là: y = f'(1)(x – 1) – 1 ⇒ y = -4x + 3

c) Ta có:

• Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

• Từ đồ thị (C) ở trên ta nhận thấy:

– Với  m/2 < – 3 ⇔ m < -6: Đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C) ⇒ phương trình vô nghiệm.

– Với m/2 = -3 ⇔ m = -6: Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu ⇒ phương trình có 2 nghiệm.

– Với -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

⇒ Phương trình có 4 nghiệm.

– Với m/2 = 3/2 ⇔ m = 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm ⇒ phương trình có 3 nghiệm.

– Với m/2 > 3/2 ⇔ m > 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Kết luận:

– Với m < – 6 thì PT vô nghiệm.

– Với m = – 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

– Với m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

– Với – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

* Ví dụ 3: Cho hàm số: 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị (C) để biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: 2x² – (5 + m)x + 4 + m = 0 (*).

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

b) Ta có: 2x² – (5 + m)x + 4 + m = 0

 ⇔  (**)

• Ta thấy (**) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = m chạy song song trục Ox. Từ đồ thị ta có:

(Lưu ý: )

– Với  hoặc : PT (**) có 2 nghiệm

– Với  hoặc : PT (**) có 1 nghiệm

– Với : PT (**) vô nghiệm.

* Ví dụ 4: Cho hàm số (C):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết PT tiếp tuyến với (C) và song song với (d): y = -2x.

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x² – (m+1)x + m + 1 = 0.

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

b) Tiếp tuyến song song với (d): y = -2x nên có hệ số góc y’ = -2.

 mà 

– Vậy có 2 tiếp tuyến:

 Tiếp tuyến (T₁) đi qua điểm (0;-1) có hệ số góc -2 là: y = -2x – 1.

 Tiếp tuyến (T₂) đi qua điểm (2;3) có hệ số góc -2 là: y = -2x + 7.

c) Ta có: 

  (*)

• Ta thấy (*) là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d₁): y = -2x + m. (d₁ là đường thẳng song song với 2 tiếp tuyến ở câu b). Như vậy, ta có kết luận sau:

– Với -1 < m < 7: PT(*) vô nghiệm

– Với m = -1 hoặc m = 7: PT (*) có 1 nghiệm

– Với m < -1 hoặc m > 7: PT (*) có 2 nghiệm

* Ví dụ 5: Cho hàm số (C) sau: 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm a để phương trình:  có nghiệm.

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 

° Lời giải:

a) Các em tự khảo sát chi tiết và vẽ đồ thị

 ⇒ TCĐ: x = 1; TCX: y = x.

– Đồ thị dạng như sau:

b) Nghiệm của PT:  (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = ax – a + 1.

– Ta thấy, pt (d) luôn đi qua điểm cố định I(1;1) nên để pt (*) có nghiệm thì (d) phải nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 tiệm cận đứng x = 1 (hệ số góc k = +∞) và tiệm cận xiên y = x (hệ số góc k = 1).

⇒ Để pt (*) có nghiệm thì: 1 < a < +∞.

(Đồ thị minh họa đường y = 2x – 1 tương ứng với a = 2 của đường thẳng y = ax – a + 1).

c) Do  là hàm chẵn (vì f(x) = f(-x)). nên đồ thị (C’) của y = f(|x|) nhận Oy làm trục đối xứng và được vẽ từ (C): y = f(x) theo quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

– Như vậy nghiệm của pt f(|x|) = log₂m (m>0) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = log₂m và đồ thị (C’). Từ đồ thị ta có:

– Nếu log₂m < -2 ⇔ 0 < m < 1/4 thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log₂m = -2 ⇔ m = 1/4 thì pt có 1 nghiệm

– Nếu -2 < log₂m < 1 + 2√2 ⇔  thì pt vô nghiệm

– Nếu log₂m = 1 + 2√2 ⇔  thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log₂m > 1 + 2√2 ⇔  thì pt có 4 nghiệm

* Một dạng biến thể khác của bài toán dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình đó là. Tìm m để pt có bao nhiêu nghiệm như ví dụ sau.

* Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = 4x³ – 3x – 1

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C).

b) Tìm m để để 4|x|³ – 3|x| – mx + m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

° Lời giải:

a) Các em tự làm chi tiết:

 f'(x) = 12x² – 3 = 0 ⇔ x = 1/2 hoặc x = -1/2

 f”(x) = 24x = 0 ⇔ x = 0.

 ⇒ Cực đại (-1/2;0), cực tiểu (1/2;-2) và điểm uốn (0;-1).

– Đồ thị có dạng như sau:

b) Có:  

• Đồ thị (C’):  là hàm chẵn (tức f(-x) = f(x)) nên đối xứng qua trục Oy. Đồ thị (C’) được vẽ từ (C) với quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

• Nghiệm của (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d_m): y = m(x-1) với (C’).

– Ta thấy (d_m) luôn đi qua điểm A(1,0) ∈ (C’) từ đồ thị ta thấy để (*) có 4 nghiệm thì đường thẳng (d_m) (màu đỏ cam hình trên) phải nằm giữa 2 đường (d₁) và (d₂) (minh họa đường màu tím).

– Phương trình đường thẳng (d₁) qua điểm (1;0) và (0;-1) có pt: y = x – 1 (có hệ số góc k₁ = 1).

– Phương trình đường thẳng (d₂) qua điểm (1;0) có hệ số góc k₂ có pt dạng: y = k₂(x – 1) và tiếp xúc với (C’) tại điểm có hoành độ x₀ < 0, nên ta có:

– Do x₀ < 0 nên

– Từ đồ thị (C’) ta thấy để pt có 4 nghiệm thì (d_m): y =m(x-1) phải cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi k₁ < m < k₂