Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Bài viết này, chúng ta cùng ôn tập lại cách dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Qua đó làm một số bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này nhé các em.

* Bài toán thường có dạng:

i) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

ii) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.

– Ở đây chúng ta tập trung vào nội dung chính là biện luận theo m số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số (bài cho sẵn đồ thị, hoặc chúng ta đã khảo sát và vẽ đồ thị của (C)).

* Phương pháp giải

– Bước 1: Biến đổi phương trình g(x;m) = 0 về dạng:

 f(x) = m; f(x) = h(m); f(x)= kx+m; f(x)=m(x-a)+b.

 Trong đó k, a, b là các hằng số và h(m) là hàm số theo tham số m

– Bước 2: Khi đó vế trái là hàm f(x) có đồ thị (C) đã biết. Vế phải có thể là:

• y = m là đường thẳng luôn vuông góc với trục Oy

• y = h(m) cũng là đường thẳng vuông góc với Oy.

• y = kx + m là đường thẳng song song với đường thẳng y = kx và cắt trục Oy tại điểm M(0; m).

• y = m(x – a) + b là đường thẳng luôn đi qua điểm cố định I(a; b) và có hệ số góc là m. Do đó đường thẳng ấy quay quanh điểm I.

– Bước 3: Dựa vào đồ thị (C) và ta sẽ biện luận theo m số nghiệm phương trình (giao điểm của đường thẳng và (C)).

* Một số bài tập minh họa biện luận theo m số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị

* Ví dụ 1: Cho hàm số  y = x3 + 3x2 – 2

a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình x+ 3x2 – 2 – m = 0.

° Lời giải:

a) Các em có thể tự làm, các bước tóm tắt như sau:

 y’ = 3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

 y” = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1

– Đồ thị có điểm cực đại là (-2;2), cực tiểu là (0;-2) và điểm uốn là (-1;0).

– Biểu diễn đồ thị sẽ như sau:

 ví dụ 1 biện luận nghiệm pt theo m

b) Ta có: x+ 3x2 – 2 – m = 0 ⇔ x+ 3x2 – 2 = m (dạng f(x) = m). (*)

• f(x) = x+ 3x2 – 2 là đồ thị đã có ở trên, số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m.

– Nên từ đồ thị hàm số ta có thể biện luận số nghiệm của phương trình (*) như sau:

– Với m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm

– Với m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình (*) có 3 nghiệm

– Với m = – 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với m < -2 phương trình (*) có 1 nghiệm

• Hoặc có thể viết gọn như sau:

– Với m < -2 hoặc m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm (đơn)

– Với m = -2 hoặc m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình 2 có 3 nghiệm (đơn).

* Ví dụ 2 (Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12): 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.

° Lời giải:

a) Khảo sát: 

¤ TXĐ: D = R

¤ Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

 f'(x) = 2x3 – 6x = 2x(x2 – 3)

 f'(x) = 0 ⇔ 2x(x2 – 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực: 

+ Bảng biến thiên:

  ví dụ 2 bảng biến thiên

+ Đồ thị hàm số dạng như sau:

 ví dụ 2 đồ thị hàm số

b) Ta có: f”(x) = 6x2 – 6 = 6(x2 – 1)

 f”(x) = 0 ⇔ 6(x2 – 1) ⇔ x = ±1 ⇒ y = -1

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là: y = f'(-1)(x + 1) – 1 ⇒ y = 4x + 3

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là: y = f'(1)(x – 1) – 1 ⇒ y = -4x + 3

c) Ta có:

• Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

• Từ đồ thị (C) ở trên ta nhận thấy:

– Với  m/2 < – 3 ⇔ m < -6: Đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C) ⇒ phương trình vô nghiệm.

– Với m/2 = -3 ⇔ m = -6: Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu ⇒ phương trình có 2 nghiệm.

– Với -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

⇒ Phương trình có 4 nghiệm.

– Với m/2 = 3/2 ⇔ m = 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm ⇒ phương trình có 3 nghiệm.

– Với m/2 > 3/2 ⇔ m > 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Kết luận:

– Với m < – 6 thì PT vô nghiệm.

– Với m = – 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

– Với m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

– Với – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

* Ví dụ 3: Cho hàm số: 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị (C) để biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: 2x2 – (5 + m)x + 4 + m = 0 (*).

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

 ví dụ 3 đồ thị hàm số

b) Ta có: 2x2 – (5 + m)x + 4 + m = 0

 ⇔  (**)

• Ta thấy (**) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = m chạy song song trục Ox. Từ đồ thị ta có:

(Lưu ý: )

– Với  hoặc : PT (**) có 2 nghiệm

– Với  hoặc : PT (**) có 1 nghiệm

– Với : PT (**) vô nghiệm.

* Ví dụ 4: Cho hàm số (C):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết PT tiếp tuyến với (C) và song song với (d): y = -2x.

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x2 – (m+1)x + m + 1 = 0.

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

 ví dụ 4 đồ thị hàm số

b) Tiếp tuyến song song với (d): y = -2x nên có hệ số góc y’ = -2.

 mà 

– Vậy có 2 tiếp tuyến:

 Tiếp tuyến (T1) đi qua điểm (0;-1) có hệ số góc -2 là: y = -2x – 1.

 Tiếp tuyến (T2) đi qua điểm (2;3) có hệ số góc -2 là: y = -2x + 7.

c) Ta có: 

  (*)

• Ta thấy (*) là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d1): y = -2x + m. (d1 là đường thẳng song song với 2 tiếp tuyến ở câu b). Như vậy, ta có kết luận sau:

– Với -1 < m < 7: PT(*) vô nghiệm

– Với m = -1 hoặc m = 7: PT (*) có 1 nghiệm

– Với m < -1 hoặc m > 7: PT (*) có 2 nghiệm

* Ví dụ 5: Cho hàm số (C) sau: 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm a để phương trình:  có nghiệm.

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 

° Lời giải:

a) Các em tự khảo sát chi tiết và vẽ đồ thị

 

 ⇒ TCĐ: x = 1; TCX: y = x.

– Đồ thị dạng như sau:

ví dụ 5 đồ thị hàm số

b) Nghiệm của PT:  (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = ax – a + 1.

– Ta thấy, pt (d) luôn đi qua điểm cố định I(1;1) nên để pt (*) có nghiệm thì (d) phải nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 tiệm cận đứng x = 1 (hệ số góc k = +∞) và tiệm cận xiên y = x (hệ số góc k = 1).

⇒ Để pt (*) có nghiệm thì: 1 < a < +∞.

(Đồ thị minh họa đường y = 2x – 1 tương ứng với a = 2 của đường thẳng y = ax – a + 1).

c) Do  là hàm chẵn (vì f(x) = f(-x)). nên đồ thị (C’) của y = f(|x|) nhận Oy làm trục đối xứng và được vẽ từ (C): y = f(x) theo quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 5 đồ thị hàm số chẵn

– Như vậy nghiệm của pt f(|x|) = log2m (m>0) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = log2m và đồ thị (C’). Từ đồ thị ta có:

– Nếu log2m < -2 ⇔ 0 < m < 1/4 thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log2m = -2 ⇔ m = 1/4 thì pt có 1 nghiệm

– Nếu -2 < log2m < 1 + 2√2 ⇔  thì pt vô nghiệm

– Nếu log2m = 1 + 2√2 ⇔  thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log2m > 1 + 2√2 ⇔  thì pt có 4 nghiệm

* Một dạng biến thể khác của bài toán dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình đó là. Tìm m để pt có bao nhiêu nghiệm như ví dụ sau.

* Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = 4x3 – 3x – 1

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C).

b) Tìm m để để 4|x|3 – 3|x| – mx + m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

° Lời giải:

a) Các em tự làm chi tiết:

 f'(x) = 12x2 – 3 = 0 ⇔ x = 1/2 hoặc x = -1/2

 f”(x) = 24x = 0 ⇔ x = 0.

 ⇒ Cực đại (-1/2;0), cực tiểu (1/2;-2) và điểm uốn (0;-1).

– Đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 6 đồ thị hàm số

b) Có:  

• Đồ thị (C’):  là hàm chẵn (tức f(-x) = f(x)) nên đối xứng qua trục Oy. Đồ thị (C’) được vẽ từ (C) với quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 6 đồ thị hàm số chẵn

• Nghiệm của (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm): y = m(x-1) với (C’).

– Ta thấy (dm) luôn đi qua điểm A(1,0) ∈ (C’) từ đồ thị ta thấy để (*) có 4 nghiệm thì đường thẳng (dm) (màu đỏ cam hình trên) phải nằm giữa 2 đường (d1) và (d2) (minh họa đường màu tím).

– Phương trình đường thẳng (d1) qua điểm (1;0) và (0;-1) có pt: y = x – 1 (có hệ số góc k1 = 1).

– Phương trình đường thẳng (d2) qua điểm (1;0) có hệ số góc k2 có pt dạng: y = k2(x – 1) và tiếp xúc với (C’) tại điểm có hoành độ x0 < 0, nên ta có:

 

 

 

 

 

– Do x0 < 0 nên

– Từ đồ thị (C’) ta thấy để pt có 4 nghiệm thì (dm): y =m(x-1) phải cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi k1 < m < k2 

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Giải GDQP- AN 11 bài 2: Luật Nghĩa vụ quân sự và trách nhiệm của học sinh
Sau khi tự tử ở giếng Loa Thành, xuống thủy cung, Trọng Thủy đã tìm gặp lại Mị Châu. Hãy tưởng tượng và kể lại câu chuyện đó | ngữ văn lớp 10
Hãy kể về một kỉ niệm với người bạn tuổi thơ khiến em xúc động và nhớ mãi | Văn 8
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao