Công thức cách tính Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz

Bài viết dưới đây chúng ta cùng ôn lại cách tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz. Đồng thời qua đó giải các bài tập vận dụng để các em dễ dàng ghi nhớ công thức hơn.

I. Công thức cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz

– Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M(xM, yM, zM) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:

  

khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong Oxyz

II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz

* Bài 1 (Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12): Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) 2x – y + 2z – 9 = 0 (α)

b) 12x – 5z + 5 = 0 ( β)

c) x = 0 ( γ;)

* Lời giải:

a) Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp (α) là:

 

b) Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp (β) là:

 

c) Ta có: khoảng cách từ điểm A tới mp (γ) là:

 

* Bài 2: Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + 2z – 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P).

* Lời giải:

– Ta có: 

– Tương tự: 

* Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau đây :

(P): x + 2y + 2z + 11 = 0.

(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.

* Lời giải:

– Ta lấy điểm M(0;0;-1) thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu d[(P),(Q)] là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có:

 

⇒ d[(P),(Q)] = 3.

* Bài 4: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.

* Lời giải:

– Xét điểm M(0;0;z) ∈ Oz, ta có :

– Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P) là:

 

⇒ Vậy điểm M(0;0;3) là điểm cần tìm.

* Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là (P1): Ax + By + Cz + D = 0 và (P2): Ax + By + Cz + D’ = 0 với D ≠ D’.

a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2).

b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2).

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

* Lời giải:

a) Ta thấy rằng (P1) và (P2) song song với nhau, lấy điểm M(x0; y0; z0) ∈ (P1), ta có:

 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇒ (Ax0 + By0 + Cz0) = -D  (1)

– Khi đó, khoảng cách giữa (P1) và (P2) là khoảng cách từ M tới (P2):

  (theo (1))

b) Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2)

– Để (P) cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì khoảng cách từ M1(x1; y1; z1) ∈ (P1) đến (P) bằng khoảng cách từ M2(x2; y2; z2) ∈ (P2) đến (P) nên ta có:

   (3)

mà (Ax1 + By1 + Cz1) = -D ; (Ax2 + By2 + Cz2) = -D’ nên ta có:

(3) 

 vì E≠D, nên: 

⇒ Thế E vào (2) ta được phương trình mp(P):  Ax + By + Cz + ½(D+D’) = 0

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

a) Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2):

– mp(P2) được viết lại: x + 2y + 2z + ½ = 0

 

b) Ta có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau:

– Cách 1: áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp(P) là:

– Cách 2: (Sử dụng phương pháp qũy tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi:

 

 

 

– Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:

 (P): x + 2y + 2z + D = 0.

 + Lấy các điểm  ∈ (P1) và  ∈ (P2), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm là 

 + Mặt phẳng (P) cách đều (P1) và (P2) thì (P) phải đi qua M nên ta có: 

 

* Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;4;-6) và mặt phẳng (α): x – 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (α).

* Lời giải:

– Phương trình mặt cầu tâm I(xi; yi; zi) bán kính R có dạng:

 (x – xi)2 + (y – yi)2 + (z – zi)2 = R2

– Nên theo bài ra I(1;4;-6) pt mặt cầu (S) có dạng:

  (x – 1)2 + (y – 4)2 + (z + 6)2 = R2

– Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α) nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phằng phải bằng R, nên có:

⇒ Phương trình mặt cầu tâm I(1;4;-6) bán kính R=5 là:

(x – 1)2 + (y – 4)2 + (z + 6)2 = 25

Như vậy, từ việc tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ, các em cũng sẽ dễ dàng tính được khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz qua việc vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Các em có thể tham thêm bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong Oxyz để có thể nắm bắt một cách tổng quát nhất về các phương pháp giải toán mặt phẳng, chúc các em học tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng