Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz

Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn.

Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu (trùng nhau, cắt nhau) thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0.

Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

– Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại. ký hiệu: d((P);(Q)).

khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong Oxyz

– Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D’ = 0 (D ≠ D’) ta dùng công thức sau:

 

II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

* Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): x + 2y − 3z + 1 = 0 và (β): x + 2y − 3z − 4 = 0.

* Lời giải:

– Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:

  

* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (α): x + 2y + 3z – 5 = 0 và (β): 2x + 4y + 6z – 16 = 0

* Lời giải:

– Ta cần đưa các hệ số (trước x,y,z) của mp (β) về giống với mp (α).

– Ta có, mp (β): 2x + 4y + 6z – 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z – 8 = 0

– Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là:

 

* Bài 3 (Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12): giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

* Lời giải:

– Ta có hình minh họa như sau:

Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bt3

– Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;

 

⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:

 A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).

 A'(0; 0; 1); B'(1; 0; 1); C'(1; 1; 1); D'(0; 1; 1).

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.

– Ta có:

⇒ Vectơ pháp tuyến của mp (AB’D’) là: 

– Tương tự, có:

 

 

 ⇒ (AB’D’) // (BC’D).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

– Mặt phẳng (BC’D) có VTPT  và qua B (1;0;0) nên có phương trình:

 1.(x – 1) + 1.(y – 0) – 1.( z – 0)= 0 ⇔ x + y – z – 1 = 0

– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB’D’) và (BC’D) chính là khoảng cách từ A đến (BC’D) và bằng:

 

* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng (AB’D’) rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau:

– Mặt phẳng (AB’D’) có VTPT  và qua A(0;0;0) nên có phương trình:

 (-1).(x – 0) – 1.(y – 0) + 1.( z – 0)= 0 ⇔ x + y – z = 0

– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB’D’) và (BC’D) là:

 

Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.

Như vậy, qua bài viết về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz với phương pháp tọa độ ở trên, các em thấy việc tính toán này là rất “dễ chịu” phải không nào?

Nếu bài toán nói tính khoảng cách của 2 mặt phẳng, các em chỉ cần kiểm tra vị trí tương đối của 2 mặt phẳng này, nếu chúng song song thì vận dụng ngay công thức ta có ở trên, còn nếu cắt nhau hoặc trùng nhau thì kết luận ngày khoảng cách này bằng 0, chúc các em học tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng