Chuyên đề một số công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Phương pháp chung:

  • Bước 1: Xác định tâm của đáy từ đó dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
  • Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực (P) của cạnh bên bất kì.
  • Bước 3: Tâm của mặt cầu là giao điểm của d và (P).

Dạng 1: Hình chóp đều.

Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài cạnh bên của hình chóp. Ta có

$$R=frac{a^{2}}{2h}.$$

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $frac{a sqrt{21}}{6}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=frac{a sqrt{3}}{3}$.

Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=frac{a}{2}$.

Áp dụng công thức $R=frac{7a}{12}$.

Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

=> Hướng dẫn giải

Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có

$$R=sqrt{(frac{h}{2})^{2}+r^{2}}.$$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a$ và vuông góc với đáy (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

$r=AG=frac{2}{3} AM= frac{a sqrt{3}}{3}$, h=SA=a.

Áp dụng công thức, ta có $R=sqrt{(frac{a}{2})^{2}+(frac{a sqrt{3}}{3})^{2}}=frac{a sqrt{21} }{6} $.

Bài tập áp dụng

Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.

=> Hướng dẫn giải

Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Gọi $R_{b}, R_{d}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy.

Ta có

$$ R=sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-frac{GT^{2}}{4}}.$$

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.

Giải: Giao tuyến của (SAB) với (ABCD) là AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=frac{a sqrt{2}}{2}$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=frac{a sqrt{3}}{3}$.

Áp dụng công thức $R=sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-frac{GT^{2}}{4}}=frac{a sqrt{21}}{6}$.

Bài tập áp dụng:

Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

=> Hướng dẫn giải

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập

Bài viết hay nhất

Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Bánh Đa Bò Nhừ Hải Phòng, 10 Món Ngon Hải Phòng Nhất Định Phải Thử
Cách Nấu Bánh Đa Bò Nhừ Hải Phòng, 10 Món Ngon Hải Phòng Nhất Định Phải Thử
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Hướng Dẫn: 6 Cách Nấu Bò Kho Bằng Thịt Heo, Cách Nấu Bò Kho Ngon Đúng Điệu Chấm Bánh Mì Chuẩn
Hướng Dẫn: 6 Cách Nấu Bò Kho Bằng Thịt Heo, Cách Nấu Bò Kho Ngon Đúng Điệu Chấm Bánh Mì Chuẩn
Giải GDQP- AN 11 bài 2: Luật Nghĩa vụ quân sự và trách nhiệm của học sinh
Tip Phối Đồ Với Giày Mlb Cho Nam Nữ Cực Chất, Beecost Mua Thông Minh
Tip Phối Đồ Với Giày Mlb Cho Nam Nữ Cực Chất, Beecost Mua Thông Minh
Cách Nấu Cháo Bằng Nồi Nấu Chậm Qua Đêm, Bí Quyết Nấu Cháo Cho Bé Cực Nhàn Vẫn Ngon
Cách Nấu Cháo Bằng Nồi Nấu Chậm Qua Đêm, Bí Quyết Nấu Cháo Cho Bé Cực Nhàn Vẫn Ngon
Cách Nấu Cháo Đu Đủ Cho Bé Ăn Đu Đủ Chín, Cháo Đu Đủ Nấu Thịt Và Trứng Gà Cho Bé
Cách Nấu Cháo Đu Đủ Cho Bé Ăn Đu Đủ Chín, Cháo Đu Đủ Nấu Thịt Và Trứng Gà Cho Bé
Cách Nấu Xôi Bằng Nồi Cơm Điện Tử Toshiba, Hướng Dẫn Sử Dụng Nồi Cơm Điện Toshiba
Cách Nấu Xôi Bằng Nồi Cơm Điện Tử Toshiba, Hướng Dẫn Sử Dụng Nồi Cơm Điện Toshiba
Cách Nấu Xương Chó Với Chuối Xanh Ăn Nhanh Kẻo Hết, Công Thức Cách Làm Thịt Chó Nấu Củ Chuối
Cách Nấu Xương Chó Với Chuối Xanh Ăn Nhanh Kẻo Hết, Công Thức Cách Làm Thịt Chó Nấu Củ Chuối
Cách Làm Mỡ Hành Ăn Chuối Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn, Món Chuối Già Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn
Cách Làm Mỡ Hành Ăn Chuối Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn, Món Chuối Già Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn