Chương Nguyên Hàm Chọn Lọc

Nguyên hàm là một khái niệm khá mới mẻ trong chương trình toán THPT, vì vậy hôm nay Kiến Guru xin chia sẻ đến các bạn Hướng dẫn giải bài tập toán đại 12 chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Bài viết sẽ kết hợp giải bài tập toán từ sách giáo khoa, đồng thời sẽ nêu những kiến thức cần ghi nhớ cũng như nhận xét định hướng lời giải, giúp các bạn vừa nhớ lại khái niệm vừa rèn luyện khả năng giải quyết bài tập của bản thân. Hy vọng bài viết sẽ là một tài liệu ôn tập ngắn gọn, hữu dụng và thân thiện với bạn đọc. Mời các bạn cùng tham khảo:

I. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 1 trang 126

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải:

a. Xét hàm số f(x) xác định trên tập xác định A.

Như vậy, hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên A khi F(x) thỏa mãn: F’(x)= f(x) ∀ x ∈ A.

Cách tính nguyên hàm từng phần:

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên A, khi đó:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx

Ta có thể viết gọn lại: ∫udv = uv – ∫vdv.

Ví dụ minh họa:

Tính nguyên hàm sau: giai-toan-12-trang-126

Ta đặt: giai-toan-12-trang-126    , suy ra giai-toan-12-trang-126

Từ đó ta có:

giai-toan-12-trang-126

Kiến thức cần nhớ: 

Nguyên hàm của một hàm số f(x) xác định trên tập A là một hàm số F(x) thỏa: F’(x)=f(x) với mọi x thuộc tập A. Có vô số hàm thỏa mãn đều kiện trên, tập hợp chúng sẽ thành họ nguyên hàm của f(x).

Khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần, nên lưu ý lựa chọn hàm u, v. Một số dạng thường gặp:

giai-bai-tap-toan-dai-12-1

II. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 2 trang 126

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? Ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

giai-toan-12-trang-126

b. Tính chất của tích phân:

giai-bai-tap-toan-dai-12-2

Kiến thức bổ sung:

+ Để tính một số tích phân hàm hợp, ta cần đổi biến, dưới đây là một số cách đổi biến thông dụng:

giai-bai-tap-toan-dai-12-3

+ Nguyên tắc sử dụng đặt u, v khi dùng công thức tính phân từng phần, ưu tiên thứ tự sau khi chọn u: Logarit -> Đa thức -> Lượng giác = Mũ.

giai-bai-tap-toan-dai-12-4

III. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 3 trang 126

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)

b. f(x)= sin(4x).cos2(2x)

c. giai-toan-12-trang-126

d. f(x) = (ex – 1)3

Hướng dẫn giải:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x3 – 11x2 + 6x – 1

Suy ra

giai-toan-12-trang-126

b. Ta có:

Suy ra:

c. Ta có:

giai-toan-12-trang-126

Suy ra:

giai-toan-12-trang-126

d. Đối với bài này, bạn đọc có thể theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên Kiến xin giới thiệu cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm. 

Đặt t=ex

Suy ra:  dt=exdx=tdx, vì vậy

Ta sẽ có:

Với C’=C-1

Kiến thức cần nhớ:

Một số nguyên hàm thông dụng cần nhớ:

giai-bai-tap-toan-dai-12-5

IV. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 4 trang 126

Tính một số nguyên hàm sau:

giai-bai-tap-toan-dai-12-6

Hướng dẫn giải:

giai-bai-tap-toan-dai-12-7

giai-bai-tap-toan-dai-12-8

giai-bai-tap-toan-dai-12-9

Kiến thức bổ sung:

Một số công thức nguyên hàm thường gặp:

giai-bai-tap-toan-dai-12-10

V. Giải bài tập toán đại 12 nâng cao.

Đề THPT Chuyên KHTN lần 4:

Cho các số nguyên a, b thỏa mãn:

giai-toan-12-trang-126

Tính tổng P=a+b?

Hướng dẫn giải:

Bài này là sự kết hợp tính tích phân của 1 hàm là tích của hai hàm khác dạng, kiểu (đa thức)x(hàm logarit). Vì vậy, cách giải quyết thông thường là sử dụng tích phân từng phần.

Ta có:

giai-bai-tap-toan-dai-12-11

Đề thi thử Sở GD Bình Thuận:

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(3)=3, tích phân: . Hãy tính: 

giai-toan-12-trang-126

Hướng dẫn giải:

Đây là một dạng tính tích phân dạng hàm ẩn, tích phân cần tính lại là dạng 1 hàm số cụ thể nhân với 1 hàm chưa biết, như vậy cách giải quyết thường gặp sẽ là đặt ẩn phụ cho hàm, đồng thời sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Ở đây các bạn sẽ đặt: t=x+1, khi đó:

giai-toan-12-trang-126

Lại có:

giai-bai-tap-toan-dai-12-12

Kiến thức bổ sung:

+ Như vậy ở đây, một cách để nhận biết khi nào sẽ sử dụng tích phân từng phần là bài toán yêu cầu tính tích phân của hàm có dạng f(x).g(x), trong đó f(x) và g(x) là những hàm khác dạng nhau, có thể là hàm logarit, hàm đa thức, hàm mũ hoặc hàm lượng giác. Một số kiểu đặt đã được đề cập ở mục phía trước, bạn có thể tham khảo lại ở phía trên.

+ Một số công thức tính nguyên hàm của hàm vô tỷ:

giai-bai-tap-toan-dai-12-13

Trên đây là những tóm tắt mà Kiến muốn chia sẻ đến các bạn. Hy vọng qua phần hướng dẫn giải bài tập toán đại 12 chương nguyên hàm và ứng dụng, các bạn có thể tự tin ôn tập tại nhà môt cách hiệu quả nhất. Ngoài việc làm những ví dụ cơ bản, các bạn nên tham khảo thêm nhiều đề thi để có cái nhìn thật tổng quan và tập làm quen với những dạng đề trắc nghiệm, phục vụ cho kì thi THPT Quốc Gia sắp tới. Bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm những bài viết khác trên trang của Kiến để trang bị cho mình những kiến thức bổ ích khác. Chúc các bạn may mắn nhé.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Học tập

Bài viết hay nhất

Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 11 bài 2: Luật Nghĩa vụ quân sự và trách nhiệm của học sinh
Cách Nấu Bánh Đa Bò Nhừ Hải Phòng, 10 Món Ngon Hải Phòng Nhất Định Phải Thử
Cách Nấu Bánh Đa Bò Nhừ Hải Phòng, 10 Món Ngon Hải Phòng Nhất Định Phải Thử
Tip Phối Đồ Với Giày Mlb Cho Nam Nữ Cực Chất, Beecost Mua Thông Minh
Tip Phối Đồ Với Giày Mlb Cho Nam Nữ Cực Chất, Beecost Mua Thông Minh
Hướng Dẫn: 6 Cách Nấu Bò Kho Bằng Thịt Heo, Cách Nấu Bò Kho Ngon Đúng Điệu Chấm Bánh Mì Chuẩn
Hướng Dẫn: 6 Cách Nấu Bò Kho Bằng Thịt Heo, Cách Nấu Bò Kho Ngon Đúng Điệu Chấm Bánh Mì Chuẩn
Cách Nấu Cháo Bằng Nồi Nấu Chậm Qua Đêm, Bí Quyết Nấu Cháo Cho Bé Cực Nhàn Vẫn Ngon
Cách Nấu Cháo Bằng Nồi Nấu Chậm Qua Đêm, Bí Quyết Nấu Cháo Cho Bé Cực Nhàn Vẫn Ngon
Cách Nấu Cháo Đu Đủ Cho Bé Ăn Đu Đủ Chín, Cháo Đu Đủ Nấu Thịt Và Trứng Gà Cho Bé
Cách Nấu Cháo Đu Đủ Cho Bé Ăn Đu Đủ Chín, Cháo Đu Đủ Nấu Thịt Và Trứng Gà Cho Bé
Cách Nấu Xôi Bằng Nồi Cơm Điện Tử Toshiba, Hướng Dẫn Sử Dụng Nồi Cơm Điện Toshiba
Cách Nấu Xôi Bằng Nồi Cơm Điện Tử Toshiba, Hướng Dẫn Sử Dụng Nồi Cơm Điện Toshiba
Cách Nấu Xương Chó Với Chuối Xanh Ăn Nhanh Kẻo Hết, Công Thức Cách Làm Thịt Chó Nấu Củ Chuối
Cách Nấu Xương Chó Với Chuối Xanh Ăn Nhanh Kẻo Hết, Công Thức Cách Làm Thịt Chó Nấu Củ Chuối
Cách Làm Mỡ Hành Ăn Chuối Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn, Món Chuối Già Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn
Cách Làm Mỡ Hành Ăn Chuối Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn, Món Chuối Già Nấu Chấm Muối Ớt Món Ăn