Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và bài tập có lời giải

Vậy cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cụ thể như thế nào? được vận dụng để tính nguyên hàm của hàm vô tỉ, hàm hữu tỉ, hay hàm lượng giác,... , chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây, đồng thời vận dụng phương pháp này để giải một số bài tập tìm nguyên hàm.

I. Công thức nguyên hàm

* Công thức nguyên hàm cơ bản (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

 1. 

 2. 

 3. 

 4.

 5. 

 6. 

 7. 

 8. 

 9. 

 10.

 11. 

 12. 

 13. 

* Công thức nguyên hàm mở rộng (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

 14. 

 15. 

 16.

 17. 

 18.

 19. 

 20. 

 21. 

 22. 

 23. 

 24. 

* Công thức nguyên hàm nâng cao (hàm hữu tỉ, hàm căn, hàm mũ e, hàm lượng giác)

 25. 

 26. 

 27. 

 28.

 29. 

 30.

 31. 

 32 

 33. 

 34. 

 35. 

II. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số

– Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu  là hàm số có đạo hàm thì 

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = φ(t) trong đó φ(t) cùng với đạo hàm của nó φ'(t)  là những hàm số liên tục, ta sẽ được:

– Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến (phép biến đổi 1 thì x là hàm theo t, phép biến đổi 2 thì t là hàm theo x) cụ thể như sau:

* Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

– Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Lấy vi phân 2 vế, dx = φ'(t)dt.

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f[φ(t)].φ'(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu  đặt  với  hoặc  với .

+ Dấu hiệu  đặt  với  hoặc  với 

+ Dấu hiệu  đặt  với  hoặc  với 

+ Dấu hiệu  hay  đặt 

+ Dấu hiệu  đặt 

 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của: 

* Lời giải:

 – Đặt x = sint;  ⇒ dx = costdt

 ta cũng có: 

 vậy: 

 ⇒ I = 

* Lưu ý:  ⇒ cost > 0 và 

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định 

* Lời giải:

 – Ta có, x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 + (√2)2 nên

 Đặt: x + 1 = √2tan(t).  

– Ta có: 

 

– Khi đó:  (*)

– Mà   

   tha vào (*) ta được kết quả.

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau:

* Lời giải: 

– ĐK: x2 – 1 >0 ⇔ x > 1 hoặc x < -1, nên ta chia làm 2 trường hợp.

+ TH1: x > 1

 – Đặt  

 – Nên có: 

  

 

 

+ TH2: x < -1 làm tương tự

 Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm sau: 

* Lời giải:

 – Đặt  

– Ta có: 

  

– Lưu ý: Phương pháp này cũng được sử dụng để giải bài toán tổng quát: I = 

* Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

– Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn t = ψ(x), trong đó ψ(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Tính vi phân 2 vế: dt = ψ'(x)dx.

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f[φ(t)].φ'(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt =  G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu  đặt 

+ Dấu hiệu  đặt   với 

+ Dấu hiệu  với x + a > 0 và x + b > 0 đặt ; với x + a < 0 và x + b < 0 đặt .

 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm 

* Lời giải:

– Đặt 

– Khi đó,  

⇒ 

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: 

* Lời giải:

– Đặt  

– Khi đó: 

 

 ⇒ 

 

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: 

* Lời giải: 

– Đặt 

  

 

⇒ 

 

 Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm: 

* Lời giải:

– Đặt  

– Khi đó: 

⇒ 

 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của 

* Lời giải:

– Đặt 

– Khi đó: 

⇒ 

 Ví dụ 6: Tính tính phân bất định 

* Lời giải:

– Đặt 

 

– Khi đó: I

 Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của 

* Lời giải:

– Ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: 

– Đặt  

– Khi đó: 

+ TH2: 

– Đặt  

– Khi đó:

III. Bài tập tìm nguyên hàm có lời giải

Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12: Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính

a) 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12:

a) Đặt 

– Ta có: 

b) Đặt 

– Ta có: 

 

c) Đặt 

– Ta có: 

 

d) Đặt 

– Ta có: 

Hy vọng với bài viết về cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp đặt biến số và bài tập vận dụng có lời giải ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp y các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng