Cách tính góc giữa hai mặt phẳng và Bài tập vận dụng

Bài viết này chúng ta sẽ ôn lại các phương pháp dùng để tính góc giữa hai mặt phẳng, làm các bài tập vận dụng để hiểu rõ hơn.

° Cách tính góc giữa hai mặt phẳng

– Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

• Cách 1: Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) chính là góc giữa hai đường thẳng a và b.

• Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ ⇒ cosφ ⇒ φ

• Cách 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.

 + Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng

 + Bước 2: Dựng 2 đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến Δ tại 1 điểm trên Δ (Tức là xác định mp phụ (γ) vuông góc Δ với (α) ∩ (γ) = a; (β) ∩ (γ) = b)), khi đó:

 cách tính góc giữa hai mặt phẳng

° Cách tính góc giữa hai mặt phẳng qua ví dụ minh họa

* Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)?

* Lời giải:

– Ta có hình minh họa như sau:
Tính góc giữa hai mặt phẳng

– Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ BI (1)

– Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ AI  (2)

– Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

⇒ (BCD) ⊥ (ABI) và (ACD) ⊥ (ABI);

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB.

* Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính góc giữa một mặt bên và mặt đáy.

* Lời giải:

– Ta minh họa như hình sau:Tính góc giữa hai mặt phẳng vd2

– Gọi H là giao điểm của AC và BD.

– Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)

 Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.

– Tam giác SCD là cân tại S; tam giác CHD cân tại H (tính chất đường chéo hình vuông)

 SM ⊥ CD và HM ⊥ CD

⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α

– Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến

  

* Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

* Lời giải:

– Minh họa như hình vẽ sau:Xác định góc giữa hai mặt phẳng

– Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ HC.

– Xét tam giác SHC vuông tại H đường trung tuyến SM ta có:

 

 

– Gọi M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABCD)

 

(MM’ là đường trung bình của ΔSHC)

 

Do đó: 

* Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = a và SA ⊥ (ABC), AB = BC = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

* Lời giải:

– Minh họa như hình vẽ sau:

Tính góc giữa hai mặt phẳng vd4– Ta có: (SAC) ∩ (SBC) = SC

– Gọi F là trung điểm AC ⇒ BF ⊥ AC 

 Lại có BF ⊥ SA ⇒ BF ⊥ (SAC) 

– Kẻ BK ⊥ SC tại K, SC ⊥ BF suy ra SC ⊥ (BKF).

– Vì ΔBFK vuông tại F  

 

* Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

* Lời giải:

– Minh họa như hình vẽ sau:tính góc giữa hai mặt phẳng vd5– Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) (SH ⊥(ABCD))

– Theo bài ra, SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là H cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do HA = HB = HC).

 

– Cũng theo bài ra, ta có: AB = BC = a ⇒ ΔABC cân tại B

 ⇒ tâm H phải nằm trên BD (BD đường chéo của hình thoi ABCD nên BD cũng là là đường trung trực của AC)

 ⇒ SH ⊂ (SBD); lại có SH ⊥ (ABCD) nên

 ⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)

Như vậy, qua các bài tập vận dụng tính góc giữa hai mặt phẳng ở trên các em thấy đây là nội dung tương đối khó và rất dễ gây nhầm lẫn, vì vậy các em cần học thật kỹ các phương pháp này và làm nhiều bài tập để rèn kỹ năng giải toán.

Hy vọng với bài viết về phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng ở trên giúp ích cho các em, mọi thắc mắc và góp ý mang tính xây dựng, các em hãy để lại bình luận ở dưới bài viết để được hỗ trợ.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng