Cách tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và Bài tập vận dụng

Vậy tìm nguyên hàm của hàm số f(x) như thế nào? Bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số sau đó vận dụng vào các bài tập minh họa tìm nguyên hàm để các em dễ hiểu hơn. Để thuận tiện việc giải các bài tập tìm nguyên hàm các em cần nhớ một số công thức tính nguyên hàm sau:

I. Công thức nguyên hàm của các hàm sơ cấp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Công thức nguyên hàm của các hàm hợp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> Lưu ý: trong các công thức trên thì ham u = u(x) là hàm theo biến x.

III. Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm f(x)

* Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm f(x)

– Phân tích f(x) thành tổng (hiệu) của các hàm số sơ cấp cơ bản (có công thức tính nguyên hàm như ở trên), tính nguyên hàm của từng hàm số rồi suy ra kết quả.

– Dùng các phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp nguyên hàm từng phần

>> Xem thêm: Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

>> Xem thêm: Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

* Bài tập minh họa tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

* Bài tập 1: Tìm họ nguyên hàm của:

     

     

* Lời giải:

a) Ta có:

 

> Lưu ý: d(u) = u'(x)dx.

 Ví dụ: d(sinx + cosx) = (sinx + cosx)’dx = (cosx – sinx)dx.

b) Ta có:

 

c) Ta có:

 

d) Ta có:

> Lưu ý: Các bước làm ở trên có thể dài dòng với một số bạn, tuy nhiên HayHocHoi mong muốn các bạn hiểu rõ từng bước biến đổi vừa để ôn lại công thức vừa dễ dàng hiểu rõ hơn. Sau khi đã nhuần nhuyễn các công thức bước làm, các em có thể làm gọn hơn đặc biệt là khi làm trắc nghiệm.

* Bài tập 2: Tìm nguyên hàm các hàm sau:

     

* Lời giải:

a) Ta có: 

– Ta sử dụng phương pháp đổi biến số:

Đặt u = 1 – x3 ⇒ du = -3x2dx ⇒ x2dx = -(1/3)du. Khi đó ta được:

b) Ta có: 

– Ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt u = x; dv = sinxdx thì du = dx; v = -cosx. Khi đó theo công thức nguyên hàm:

Thì ta được:

* Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số f(x) sau:

     

* Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

– Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần

Đặt u = x ⇒ du = dx;  dv = exdx ⇒ v = ex khi đó vận dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được:

 

* Bài tập 4. Cho f(x) = cos4x – sin4x. Tìm nguyên hàm của hàm F(x) biết rằng F(π/6) = 0.

* Lời giải:

– Ta có: f(x) = cos4x – sin4x = (cos2x – sin2x)(cos2x + sin2x) = cos2x – sin2x = cos2x

Do đó: 

 

Vậy 

* Bài tập 5: Cho hàm . Tìm nguyên hàm F(x) biết F(0) = 0.

* Lời giải:

– Ta nhân tử và mẫu của f(x) với  ta được

Do đó: 

 

Vậy 

> Nhận xét: Như vậy với bài tập 4 và bài tập 5 là một dạng khác với các bài 1,2,3. Ở bài tập 4,5 yêu cầu chúng ta tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa điều kiện cho trước. Việc này chúng ta cũng làm tương tự là tìm họ nguyên hàm F(x) trước. Sau đó dựa vào yêu cầu bài toán (giả thiết) để suy ra giá trị của C.

IV. Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số f(x) học sinh tự làm

* Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm 

* Đáp án bài tập 1: 

* Bài tập 2: Cho , tìm f(x).

* Đáp án bài tập 2:

 nên 

* Bài tập 3: Cho . Tìm f(x)

* Đáp án bài 3:

Như vậy, để tìm được nguyên hàm của hàm f(x) các em cần vận dụng các phép biến đổi cùng phương pháp nguyên hàm từng phần hoặc đổi biến số. Việc biến đổi để giải các bài tập luôn đòi hỏi các em phải nhớ nhiều công thức từ đạo hàm tới nguyên hàm. Vì vậy để ghi nhớ các công thức không gì khác là các em cần làm nhiều bài tập hơn, các em hãy cố gắng để học tốt nhé.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng