Cách tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số Lượng giác

Trong nội dung bài này, chúng ta tập trung vào một số bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, vì hàm số lượng giác có tập nghiệm phức tạp và dễ gây nhầm lẫn cho rất nhiều em.

I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – kiến thức cần nhớ

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R.

– Nếu tồn tại một điểm x∈ X sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x ∈ X thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên X.

 Ký hiệu: 

– Nếu tồn tại một điểm x∈ X sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x ∈ X thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên X.

 Ký hiệu: 

hayhochoi dn11

II. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

* Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác

+ Để tìm Max (M), min (m) của hàm số y = f(x) trên [a;b] ta thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Tính f'(x), tìm nghiệm f'(x) = 0 trên [a;b].

– Bước 2: Tính các giá trị f(a); f(x1); f(x2);…; f(b) (xi là nghiệm của f'(x) = 0)

– Bước 3: So sánh rồi chọn M và m.

> Lưu ý: Để tìm M và m trên (a;b) thì thực hiện tương tự như trên nhưng thay f(a) bằng  và f(b) bằng  (Các giới hạn này chỉ để so sáng khong chọn làm GTLN và GTNN).

• Nếu f tăng trên [a;b] thì M = f(b), m = f(a).

• Nếu f giảm trên [a;b] thì m = f(b), M = f(a).

• Nếu trên D hàm số liên tục và chỉ có 1 cực trị thì giá trị cực trị đó là GTLN nếu là cực đại, là GTNN nếu là cực tiểu.

* Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm lượng giác sau:

y = sinx.sin2x trên [0;π]

* Lời giải:

– Ta có f(x) = y = sinx.sin2x

  

 

Vậy 

* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y = sinx + cosx trong đoạn [0;2π].

* Lời giải:

– Ta có: f(x) = y = sinx + cosx ⇒ f'(x) = cosx – sinx 

 f'(x) = 0 ⇔ cosx = sinx ⇔ x = π/4 hoặc x = 5π/4

– Như vậy, ta có:

  f(0) = 1; f(2π) = 1;

  

  

Vậy 

• Cách khác:

 f(x) = sinx + cosx = √2.sin(x + π/4)

 Vì -1 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1 nên -√2 ≤ √2.sin(x + π/4) ≤ √2.

 Nên 

* Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 3sinx+ 4cosx + 1

* Lời giải:

– Với bài này ta có thể áp dụng bất đẳng thức sau:

 (ac + bd)2 ≤ (c2 + d2)(a2 + b2) dấu “=” xảy ra khi a/c = b/d

– Vậy ta có: (3sinx+ 4cosx)2 ≤ (32 + 42)(sin2x + cos2x) = 25

Suy ra: -5 ≤ 3sinx+ 4cosx ≤ 5

 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6

Vậy Maxy = 6 đạt được khi tanx = 3/4

 miny = -4 đạt được khi tanx = -3/4.

> Nhận xét: Cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau:

 và 

Tức là: 

* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3cosx + sinx – 2

* Lời giải:

– Bài này làm tương tự bài 3 ta được: 

* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3cosx + 2

* Lời giải:

– Ta có: -1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ R.

 Maxy = 3.1 + 1 = 4 khi cosx = 1 ⇔x = k2π

 Minxy = 3.(-1) + 1 = -2 khi cosx = -1 ⇔x = π + k2π

* Bài tập 6: Tìm m để phương trình: m(1 + cosx)2 = 2sin2x + 2 có nghiệm trên [-π/2;π/2].

* Lời giải:

– Phương trình trên tương đương:  (*)

Đặt 

khi đó: 

(*) ⇔ t4 – 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m.

Xét f(t) =  t4 – 4t3 + 2t2 + 4t + 1 trên đoạn [-1;1]

Ta có: f'(t) = 4t3 – 12t2 + 4t + 4 = 0 ⇔ t = 1; t = 1 – √2; t = 1 + √2(loại)

Có: f(-1) = 1 + 4 + 2 – 4 + 1 = 4

 f(1) = 1 – 4 + 2 + 4 + 1 = 4

 f(1 – √2) = (1 – √2)4 – 4(1 – √2)3 + 2(1 – √2)2 + 4(1 – √2) + 1 = 0

Ta được: Minf(t) = 0; Maxf(t) = 4

Để phương trình có nghiệm ta phải có 0 ≤ 2m ≤ 4.

Vậy 0 ≤ m ≤ 2 thì phương trình có nghiệm.

III. Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác tự làm

* Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác:  trên [0;π].

* Đáp số bài tập 1:

 

 

* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2cos2x – 3cosx – 4 trên [-π/2;π/2].

* Đáp số bài tập 2:

 

 

* Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = x + 2cosx trên (0;π/2).

* Đáp số bài tập 3:

 

* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2sin2x + 2sinx – 4.

* Đáp số bài tập 4:

 

 

* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = x + sin2x trên [-π/2;π/2].

* Đáp số bài tập 5:

Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác ngoài cách dùng đạo hàm các em cũng cần vận dụng một cách linh hoạt các tính chất đặc biệt của hàm lượng giác hay bất đẳng thức. Hy vọng, bài viết này hữu ích cho các em, chúc các em học tập tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng