Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu Giá trị tuyệt đối

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em cách giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, qua đó vận dụng vào các bài tập để rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán này.

° Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (quy về phương trình bậc 2)

• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối

– Bình phương hai vế phương trình đã cho

– Có thể đặt ẩn phụ. 

+ Với phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:

 |f(x)| = |g(x)| ⇔

 hoặc |f(x)| = |g(x)|⇔ f2(x) = g2(x)

+ Với phương trình dạng |f(x)| = g(x) ta có thể biến đổi tương đương như sau:

    

 hoặc  

° Bài tập, ví dụ vận dụng cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Bài tập 1: (Bài 6 trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a) |3x – 2| = 2x + 3

b) |2x – 1| = |-5x – 2|

c) 

d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1.

* Lời giải:

a) |3x – 2| = 2x + 3 (1)

– Tập xác định: D = R.

¤ Cách giải 1: Khử dấu trị tuyệt đối theo định nghĩa (nên sử dụng khi 1 trong 2 vế của phương trình có bậc 2)

+ Nếu 3x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3 thì:

 (1) ⇔ 3x – 2 = 2x + 3 ⇔ x = 5 (thỏa điều kiện x ≥ 2/3). 

 ⇒ x = 5 là một nghiệm của pt (1).

+ Nếu 3x – 2 < 0 ⇔ x < 2/3 thì:

 (1) ⇔ -(3x – 2) = 2x + 3 ⇔ 5x = -1 ⇔ x=-1/5 (thỏa điều kiện x < 2/3)

 ⇒ x = -1/5 là một nghiệm của pt (1).

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 5 và x2 = -1/5.

¤ Cách giải 2: Khử dấu trị tuyệt đối bằng cách bình phương 2 vế (nên sử dụng khi 2 vế của pt đều có bậc 1)

 

 

 

  

– Ta thấy x = 5 và x = -1/5 đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2.

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 5 và x2 = -1/5.

b) |2x – 1| = |-5x – 2| (2)

– Tập xác định D = R. Ta có:

 (2) ⇔ (2x – 1)2 = (-5x – 2)2 (bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối)

 ⇔ 4x2 – 4x + 1 = 25x2 + 20x + 4

 ⇔ 21x2 + 24x + 3 = 0

 Có a = 21; b = 24; c = 3 để ý thấy a – b + c = 0 theo Vi-ét pt có nghiệm: x1 = -1; x2 = -c/a = -3/21 = -1/7.

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = -1 và x2 = -1/7.

c)  (3)

– Tập xác định: D = R{-1;2/3}

• TH1: Nếu x +1 > 0 ⇔ x > –1 khi đó: |x + 1| = x + 1. Nên ta có:

 

 ⇔ (x – 1)(x + 1) = (-3x + 1)(2x – 3)

 ⇔ x2 – 1 = -6x2 + 11x – 3

 ⇔ 7x2 – 11x + 2 = 0

  nên pt có 2 nghiệm: 

– Ta thấy x1, x2 thỏa điều kiện x > -1 và x ≠ 3/2.

• TH2: Nếu x +1 < 0 ⇔ x < –1 khi đó: |x + 1| = -x – 1. Nên ta có:

 ⇔ (x – 1)(-x – 1) = (-3x + 1)(2x – 3)

 ⇔ 1 – x2 = -6x2 + 11x – 3

 ⇔ 5x2 – 11x + 4 = 0

 Có  nên pt có 2 nghiệm: 

– Ta thấy x1, x2 không thỏa mãn điều kiện x < -1

¤ Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp trên pt(3) có 2 nghiệm là:  và .

d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1 (4)

– Tập xác định: D = R.

• TH1: Nếu 2x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ -5/2, khi đó |2x + 5| = 2x + 5. Ta có:

 (4) ⇔ 2x + 5 = x2 + 5x + 1

 ⇔ x2 + 3x – 4 = 0

 Có a = 1; b = 3; c = -4 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x1 = 1; x2 = c/a = -4.

– Ta thấy chỉ có x1 = 1 thỏa điều kiện x ≥ -5/2 

• TH2: Nếu 2x + 5 < 0 ⇔ x < -5/2 , khi đó |2x + 5| = –2x – 5. Ta có

 (4) ⇔ –2x – 5 = x2 + 5x + 1

 ⇔ x2 + 7x + 6 = 0

 Để ý có: a – b + c = 0 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x1 = -1; x2 = -c/a = -6

– Ta thấy chỉ có x2 = -6 thỏa điều kiện x < -5/2 

¤ Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp trên pt(4) có 2 nghiệm là: x = 1 và x = -6.

* Nhận xét: Như vậy các em để ý, để giải pt có dấu trị tuyệt đối cần linh hoạt vận dụng. Ví dụ, đối pt có dấu trị tuyệt đối mà 2 vế đều bậc 1 ta ưu tiên cách bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối; đối với pt 1 vế bậc nhất, 1 vế bậc 2 ta ưu tiên khử trị tuyệt đối theo định nghĩa.

* Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) x2 + |x – 1| = 1

b) |x – 6| = |x2 – 5x +9|

° Lời giải:

a) x2 + |x – 1| = 1

 (Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương).

 ⇔ |x – 1| = 1 – x2

   

¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 0.

b) |x – 6| = |x2 – 5x +9|

 (Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương).

 

 

¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 3.

Hy vọng qua phần ví dụ và bài tập minh họa cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (phương trình quy về phương trình bậc 2) ở trên gúp các em hiểu kỹ hơn và dễ dàng vận dụng nó để giải các bài tập dạng này.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng