Cách giải phương trình bậc 2 chứa tham số m

Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m (hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó) một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.

° Cách giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m

¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất

¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

– Tính biệt số Δ

– Xét các trường hợp của Δ (nếu Δ có chứa tham số)

– Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

* Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

° Lời giải:

– Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ’. Ta có:

Δ’= [-(m + 1)]2 – 3.(3m – 5)

  = (m + 1)2 – 9m +15 > 0

  = m2 + 2m + 1 – 9m + 15

  = m2 – 7m + 16 > 0

  = (m – 7/2)2 + 15/4 > 0

– Như vậy, Δ’ > 0, ∀m ∈ R nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

* Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (*)

° Lời giải:

• TH1: Nếu m = 0 thay vào (*) ta được:  

• TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ’ như sau:

 

– Nếu : Phương trình (*) vô nghiệm

– Nếu : Phương trình (*) có nghiệm kép: 

– Nếu : Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

¤ Kết luận:

 m > 4: Phương trình (*) vô nghiệm

 m = 0: Phương trình (*) có nghiệm đơn x = 3/4.

 m = 4: Phương trình (*) có nghiệm kép x = 1/2.

 m < 4 và m ≠ 0: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 

* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ (Δ’).

– Thông thường, phương trình bậc 2 có chứa tham số thường đi kèm với nhiều bài toán phụ như: Tìm m để phương trình bậc 2 (ax+ bx + c = 0) có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

* Với  thì PT bậc 2:

– Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

– Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

– Nghiệm duy nhất (nghiệm kép) ⇔ Δ = 0

– Có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0

– Có 2 nghiệm cùng dấu

– Có 2 nghiệm trái dấu 

– Có 2 nghiệm dương (x1, x2>0) 

– Có 2 nghiệm âm (x1, x2<0) 

– Có 2 nghiệm phân biệt đối nhau 

– Có 2 nghiệm phân biệt là nghịch đảo của nhau 

– Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 

– Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p ∈ R). Các bước làm như sau:

 Bước 1: Tìm điều kiện để pt có 2 nghiện phân biệt

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tìm:  

 Bước 3: Kết hợp (1) và giả thiết giải hệ: 

 Bước 4: Thay x1, x2 vào (2) ta tìm được giá trị tham số.

* Ví dụ (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

° Lời giải:

– Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

– PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

 ⇔ [-(m + 1)]2 – 3.(3m – 5) > 0

 ⇔ (m + 1)2 – 9m +15 > 0

 ⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

 ⇔ m2 – 7m + 16 > 0

 ⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0 (∀m ∈ R).

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x1; x2 khi đó theo định lý Vi–et ta có:

 (1); và  (2)

– Theo bài toán yêu cầu PT có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3.x1, khi đó thay vào (1) ta có: 

Thay x1, x2 vào (2) ta được: 

 

 

 

* TH1: Với m = 3, PT(1) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2: Với m = 7, PT(1) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện |x1 – x2| = k (với k ∈ R). Các bước làm như sau:

 Bước 1: Bình phương 2 vế phương trình: (x1 – x2)2 = k2 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = k2

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 thay vào biểu thức trên được kết quả.

* Ví dụ: cho phương trình x2 – (2m – 1)x + m2 – 1 = 0 (m là tham số).

a) Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa (x1 – x2)2 = x1 – 3x2.

° Lời giải:

a) Ta có: 

– Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:

 

b) Phương trình có 2 nghiệm khi chỉ khi m<5/4.

– Áp dụng Vi-ét, ta có: 

– Theo bài ra: (x1 – x2)2 = x1 – 3x2

 

 [khai triển hằng đẳng thức và thêm bớt 2x1x2]

 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = x1 – 3x2 [Nhóm lại số hạng]

 ⇔ (2m – 1)2 – 4(m2 – 1) = x1 – 3x2 [thay hệ thức Vi-ét vào]

 ⇔ x1 – 3x2 = 5 – 4m (**)

– Từ pt thứ nhất trong hệ (*) với (**) ta có hệ pt:

 

– Mặt khác, lại có: x1x2 = m2 – 1 

 

  

– Đối chiếu với điều kiện m<5/4 thấy m = 1 và m = -1 đều thỏa mãn (x1 – x2)2 = x1 – 3x2.

⇒ Kết luận: Với m = 1 hoặc m = -1 hì pt đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn 

• Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m;

 Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

 Bước 2:  Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 

 Bước 3: Biến đổi kết quả để không phụ thuộc tham số (không còn tham số)

* Ví dụ: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

a) CMR phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt đã cho mà không phụ thuộc vào m.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của  (với x1, x2 là nghiệm của pt đã cho)

° Lời giải:

a) Ta có: 

 

– Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

 

  (không phụ thuộc vào m).

c) Ta có:  

 

 

– Do đó:  dấu “=” xảy ra khi 

⇒ Kết luận: Pmin = 15/4 khi m = 5/4.

So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

 Bước 1: Tìm điều kiện phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0).

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 

 +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm lớn hơn α (x1 > x2 > α)

 Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

 +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn α (x1 < x2 < α)

  Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

  +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho x1 < α < x2

 

  Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

* Ví dụ: Cho phương trình x2 -2(m – 1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số)

a) CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2.

° Lời giải:

a) Ta có: 

 

 Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo Vi-ét ta có: 

 Theo yêu cầu bài toán thì x1 < 1 < x2 

  

 Thay (*) và (**) ta được: (2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0

 ⇔ 0.m – 2 < 0 (đúng với mọi m).

⇒ Kết luận: Vậy với mọi m thì pt trên có 2 nghiệm x1, x2 thỏa  x1 < 1 < x2.

 

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng