Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m

Bài tập hệ phương trình chứa tham số m thường có một số dạng như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m); Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m,…

• Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thay giá trị của m vào hệ phương trình đã cho.

+ Bước 2: Giải hệ phương trình vừa nhận được theo các phương pháp đã biết.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

Giải hệ phương trình với m = 1.

* Lời giải:

– Với m = 1 ta có hệ: 

Cộng vế với vế pt(1) và pt(2) của hệ, ta được:

 

3x = 9 ⇔ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1.

Vậy với m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;1).

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên với m = 2.

* Lời giải:

– Khi m = 2 hệ phương trình có dạng: 

Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm 

hayhochoi

• Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số).

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đựa hệ phương trình về phương trình dạng bậc nhất dạng ax + b = 0. (sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…)

+ Bước 2: Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0, (với a, b là hằng số) (*).

– TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = -b/a. từ đó tìm được y.

– TH2: Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.

– TH3: Nếu a = 0, b = 0  thì phương trình (*) có vô số nghiệm.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình:

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trên theo tham số m.

* Lời giải:

– Từ PT (1) của hệ ta có: y = (m + 1)x – (m – 1); (3) thế vào PT 2) ta được:

 x + (m + 1)[(m + 1)x – (m – 1)] = 2

 ⇔ x + (m2 – 1)x – (m2 – 1) = 2

 ⇔ m2x = m2 + 1.  (4).

– TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT (4) có nghiệm duy nhất:  thay vào (3) ta có:

  

 

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

– TH2: Nếu m = 0 thì PT (4) trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm.

⇒ Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

– Kết luận:

 Với m ≠ 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

 Với m = 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

• Dạng 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm(x; y) theo tham số m;

+ Bước 2: Thế nghiệm (x; y) vào biểu thức điều kiện cho trước rồi giải tìm m;

+ Bước 3: Kết luận giá trị m.

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 5.

* Lời giải:

– Nhân PT (1) với 2 và PT (2) với 1, ta được:

 

Cộng vế với vế của PT (3) và PT (4), ta được:

 7x = 7m + 7 ⇔ x = m + 1

 ⇒ 2y = 3m + 1 – x = 3m + 1 – (m + 1) = 2m.

 ⇒ y = m.

 Thế x = m + 1 và y = m vào điều kiện yêu cầu được: (m + 1)2 + (m)2 = 5

⇔ m2 + 2m + 1 + m2 = 5 ⇔ 2m2 + 2m – 4 = 0

⇔ m2 + m – 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = -2 (nhẩm theo Vi-ét, thấy phương trình bậc 2 theo m có a – b + c = 0).

– Kết luận: Vậy với m = 1 hoặc m = – 2 thì phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 5.

Khi đó có thể thấy cặp nghiệm tương ứng của hệ là (x;y) = (2;1) hoặc (x;y) = (-1;-2)

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 

Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mã (x + y) đạt giá trị nhỏ nhất:

* Lời giải:

– Theo lời giải của phần ví dụ ở dạng 2 ta đã giải hệ trên có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0 là:

Ta có:  

Đặt  ta được:

 

– Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 

– Kết luận: Vậy với m = -4 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN bằng 7/8.

• Dạng 4: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m;

+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m;

+ Bước 3: Kết luận.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình:

a) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi giá trị của m.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m.

* Lời giải:

a) Ta có:  

Từ PT: m(1-my) – y = – m

 ⇔ m -m2y – y = -m ⇔ 2m = y(m2 + 1)

  

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất: 

 b) Ta thấy:

 

 

– Kết luận: Vậy x2 + y2 = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m.

• Bài tập về hệ phương trình chứa tham số (tự giải)

* Bài tập 1: Cho hệ phương trình (a là tham số): 

a) Giải hệ phương trình với a = 2.

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa x.y<0

c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệp duy nhất thỏa x =|y|.

* Bài tập 2: Cho hệ phương trình (m là tham số):

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x≥2 và y≥1.

* Bài tập 3: Cho hệ phương trình (a là tham số): 

a) Giải hệ phương trình khi a = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì hệ PT luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.

* Đáp án bài tập về hệ phương trình tham số

– Đáp án bài tập 1:

a) Nghiệm (x;y) = (1;-2)

b) Với m>4/5 thì x.y<0

c) Với m = 7/5 thì hệ pt có nghiệm thỏa x = |y|.

* Đáp án bài tập 2:

a) Nghiệm (x;y) = (7/4;3/4)

b) Với m<-1thì hệ pt có nghiệm thỏa x≥2 và y≥1.

* Đáp án bài tập 3:

a) Nghiệm (x;y) = (1;1)

b) 2x + y = 3 – (m – 2)2 ≤ 3 với mọi m.

Tóm lại, với bài viết Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m ở trên, HayHocHoi hy vọng sẽ giúp các em có thể vận dụng để giải được một số dạng bài tập như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m); Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m,…

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Giải GDQP- AN 11 bài 2: Luật Nghĩa vụ quân sự và trách nhiệm của học sinh
Sau khi tự tử ở giếng Loa Thành, xuống thủy cung, Trọng Thủy đã tìm gặp lại Mị Châu. Hãy tưởng tượng và kể lại câu chuyện đó | ngữ văn lớp 10
Hãy kể về một kỉ niệm với người bạn tuổi thơ khiến em xúc động và nhớ mãi | Văn 8
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao