Các dạng toán về tỉ lệ thức và phương pháp giải

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về tỉ lệ thức, phương pháp giải các dạng toán này, sau đó vận dụng giải các bài tập từ cơ bản tới nâng cao để các em dễ dàng ghi nhớ.

I. Lý thuyết về Tỉ lệ thức

• Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số  hoặc a:b = c:d (a, b, c, d ∈ Q; b, d ≠ 0).

* Ví dụ: Tỉ lệ thức  có thể được viết là:  3:4 = 6:8

– Các số: a, d là ngoại tỉ; b, c là trung tỉ

– Từ tỉ lệ thức:  suy ra: a.d = c.b

– Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỉ lệ thức:

        

– Từ tỉ lệ thức a/b = c/d suy ra các tỉ lệ thức:

      

• Tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau:

– Từ tỉ lệ thức  suy ra các tỷ lệ thức sau:

  

– Từ tỉ lệ thức  suy ra các tỉ lệ thức sau:

   

hayhochoivn dn15

II. Các dạng bài tập về Tỉ lệ thức

° Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ các số đã cho

* Phương pháp:

– Sử dụng tính chất: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỉ lệ thức:

        

* Ví dụ 1 (Bài 45 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau đây rồi lập các tỉ lệ thức

        

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 45 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có:

 

 

 

 

 

 

 

– Từ kết quả trên, ta có các tỉ số bằng nhau là:

  

* Ví dụ 2 (Bài 47 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1)Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau:

a) 6.63 = 9.42.

b) 0,24.1,61 = 0,84.0,46.

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 47 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

a) Từ 6.63 = 9.42 ta có:

       

b) Từ 0,24.1,61 = 0,84.0,46 ta có:

       

° Dạng 2: Tìm x từ tỉ lệ thức

* Phương pháp:

– Sử dụng tính chất: 

* Ví dụ 1 (Bài 46 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1)Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a)

b)

c)

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 46 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

a)   

b)  

  

c) 

  

  

* Ví dụ 2Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a) 

b) 

◊ Lời giải ví dụ 2:

a)  

 

   

 

b) 

 

  

  

° Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức

* Phương pháp:

– Đặt   rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh ta được cùng một biếu thức, suy ra điều phải chứng minh (đpcm).

– Hoặc có thể dùng tính chất:  để chứng minh

– Hoặc dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

– Hoặc dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh.

* Ví dụ (Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1)Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức   ta có thể suy ra tỉ lệ thức: 

◊ Lời giải ví dụ (Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

– Ta có: 

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 

 

° Dạng 4: Tìm x, y trong dãy tỉ số bằng nhau

* Phương pháp:

– Đưa về cùng một tỉ số: 

– Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

– Sử dụng phương pháp thế (rút x, hoặc y từ một biểu thức thế vào biểu thức còn lại để tính)

– Đặt: 

* Ví dụ 1 (Bài 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1)Tìm 2 số x và y biết:

  và 

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

  

– Vậy có: 

* Ví dụ 2 (Bài 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1)Tìm 2 số x và y biết:

 x:2=y:(-5) và x-y=(-7).

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có: 

– Theo tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, và giả thiết x-y=-7, ta có:

 

– Vậy có:

* Ví dụ 3 (Bài 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1)Tìm diện tích hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó là 2/5 và chu vi là 28m.

◊ Lời giải ví dụ 3 (Bài 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Gọi x và y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật (đơn vị mét và x, y > 0).

– Theo bài ra, ta có chu vi hình chữ nhật là 28m nên: (x + y).2 = 28 ⇒ x + y =28 : 2 = 14.

– Cũng theo bài ra, tỉ số giữa 2 cạnh là 2/5 nên ta có: 

– Theo tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau, kết hợp với x+y=14, ta có:

– Vậy có: 

° Dạng 5: Tính tổng hay hiệu một biểu thức khi biết dãy tỉ số

* Phương pháp:

♣ Cách 1: Đặt   rồi thay vào biểu thức.

♣ Cách 2: Dùng tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau.

* Ví dụ 1 (Bài 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1)Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2 ; 4 ; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn biết rằng ba bạn có 44 viên bi.

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Gọi x, y, z lần lượt là số viên bị của ba bạn Minh, Hùng, Dũng

– Theo bài ra, số bi của Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2, 4, 5 nên có:

 

– Theo bài ra, 3 bạn có tổng cộng 44 viên bi nên: x + y + z = 44. (*)

– Từ tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau kết hợp (*) ta có:

  

– Vậy có: 

* Ví dụ 2 (Bài 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1)Tìm ba số x, y, z biết x/2 = y/3; y/4 = z/5 và x + y – z = 10.

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có:

   

   

– Do đó, ta có: 

– Từ tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, ta có:

  

– Vậy có: 

° Dạng 6: Tính tích một biểu thức khi biết dãy tỉ số

* Phương pháp:

– Đưa về cùng tỉ số: 

♣ Cách 1: Đặt   rồi thay vào biểu thức để tìm k, sau đó tính x,y,z từ .

♣ Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y rồi thực hiện các tính toán phù hợp.

* Ví dụ 1 (Bài 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1)Tìm hai số x và y biết rằng:  và x.y=10.

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

♣ Cách 1: Đặt 

⇒ x = 2.k; y = 5.k;

– Theo bài ra, ta có: x.y = 10 ⇒ 2k.5k = 10 ⇒ 10k2 = 10 ⇒ k2 = 1 ⇒ k = 1 hoặc k = -1.

• Với k = 1 thì x = 2k = 2; y = 5k = 5.

• Với k = -1 thì x = 2k = -2; y = 5k = -5.

⇒ Vậy x = 2 ; y = 5 hoặc x = -2; y = -5.

♣ Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y rồi thực hiện các tính toán phù hợp.

– Theo bài ra, ta có:  (nhân cả 2 vế của đẳng thức với )

 

  hoặc 

 

– Trường hợp 1: x = 2 ⇒ y = 5

– Trường hợp 2: x = -2 ⇒ y = -5

° Dạng 7: Vận dụng tính chất Tỉ lệ thức chứng minh bất đẳng thức

♦ Tính chất 1: Cho hai số hữu tỉ  và  với b>0; d>0. Chứng minh: 

◊ Hướng dẫn:

– Có  

– Có  

♦ Tính chất 2: Nếu b>0; d>0 thì từ 

◊ Hướng dẫn:

– Có   

– Cộng 2 vế của (1) với ab ta có:

 

– Công 2 vế của (1) với dc ta có:

  

 

– Từ (2) và (3), ta được:   (đpcm).

♦ Tính chất 3: Cho a, b, c là các số dương, nên:

a) Nếu  thì 

a) Nếu  thì 

* Ví dụ Cho a, b, c, d > 0; chứng minh:

  

◊ Lời giải:

– Từ  theo tính chất (3) ta có:

  [do d>0]

– Mặt khác:

– Từ (1) và (2) ta có:  

– Tương tự ta có:

 

 

  

– Cộng vế với vế của các bất đẳng thức (3); (4); (5); (6) ta được:

  

III. Một số bài tập về tỉ lệ thức

* Bài tập 1: Các số sau có lập được tỉ lệ thức không

a) 3,5:5,25 và 14:21

b)  và 2,1:3,5

c) 6,51:15,19 và 3:7

d)  và 0,9:(-0,5)

* Bài tập 2: Tìm x từ tỉ lệ thức sau:

a) 

b) 

c)

d) 

* Bài tập 3: Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc thì: 

* Bài tập 4: Chứng minh rằng: Nếu  thì: 

* Bài tập 5: Tìm x và y biết:

a)  và 

b)  và 

c)  và 

d)  và 

* Bài tập 5: Tìm x, y và z biết:

a)   

b)  

* Bài tập 6: Cho  tính 

* Bài tập 7: Cho  tính 

* Bài tập 8: Tìm x, y và z biết

a) 

b) 

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Giải GDQP- AN 11 bài 2: Luật Nghĩa vụ quân sự và trách nhiệm của học sinh
Sau khi tự tử ở giếng Loa Thành, xuống thủy cung, Trọng Thủy đã tìm gặp lại Mị Châu. Hãy tưởng tượng và kể lại câu chuyện đó | ngữ văn lớp 10
Hãy kể về một kỉ niệm với người bạn tuổi thơ khiến em xúc động và nhớ mãi | Văn 8
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Cách Nấu Nước Đường Ăn Sương Sâm, Cách Làm Thạch Sương Sâm
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao