Các dạng toán về hàm số lượng giác và bài tập vận dụng

Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác, mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết để các em dễ dàng vận dụng khi gặp các dạng bài tập hàm số lượng giác tương tự.

I. Lý thuyết về Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:  và

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = sinx có dạng:
đồ thị hàm số y = sinx

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:  và

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° cosx = 0 khi

 ° cosx = 1 khi

 ° cosx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:
đồ thị hàm số y = cosx

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

+ Tập xác định: 

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 khi

 ° sinx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng:
đồ thị hàm số y = tanx

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:  

+ Tập xác định: 

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° cotx = 0 khi

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx có dạng:

đồ thị hàm số y = cotx

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

° Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

* Phương pháp:

– Tìm điều kiện của biến số x để hàm số xác định và chú ý đến tập xác định của các hàm số lượng giác.

 Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Tìm tập xác định của hàm số:

a)     b)

c)     d)

° Lời giải bài 2 (trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11):

a) Hàm số  xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

– Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}.

b) Hàm số  xác định:

 (1)

– Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

  

– Do đó, (1) ⇔ (1 – cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là D = R{k2π, k ∈ Z}.

c) Hàm số  xác định:

 

 

 

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

   

d) Hàm số  xác định:

 

 

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

  

° Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Phương pháp:

♦ Để xác định hàm số y=f(x) là hàm chẵn hay lẻ, ta làm như sau:

 Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm y=f(x)

 Bước 2: Với x bất kỳ: x ∈ D, ta chứng minh -x ∈ D

 Bước 3: Tính f(-x):

  ◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

  ◊ Nếu f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

  ◊ Nếu có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

 Ví dụ 1: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:

 a) y = tanx + 3sinx

 b) y = 2cosx + sin2x

 c) y = 5sin2x.cos3x

 d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

 a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx – 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

 b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + [sin(-x)]2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

 c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

 d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta xét với 

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* Lưu ý: Để chứng minh hàm số y=f(x) không chẵn (hoặc không lẻ) thì ta cần chỉ ra có tồn tại x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để chứng minh y=f(x) (có tập xác định D) tuần hoàn, cần chứng minh có T ∈ R sao cho:

 1) x + T ∈ D; x – T ∈ D, ∀x ∈ D.

 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ Giả sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất 1) và 2) ở trên.

 Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.

* Lời giải: 

– Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x – π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a, với 0 < a < π sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

 sin[2(x+a)] = sin2x, ∀x ∈ D.

– Chọn x = 0, ta có: sin2a = 0 ⇒ 2a = kπ (k ∈ Z) ⇒ 

– Do 0< a <π nên   

– Thử lại:   không đúng ∀x ∈ D.

 Chẳng hạn, khi:

   thì  còn 

 Vì vậy,  không phải chu kỳ của hàm số, chu kỳ của hàm số y = sin2x là π.

 Ví dụ 2: Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của nó.

* Lời giải: 

– Hàm số:

+ TXĐ:  

⇒ 

+ Ta có: 

+ Ta có:    

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a:  sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

 

– Chọn , ta có:

– Do  nên 0 < k < 1 ⇒ không có k vì k ∈ Z.

 Vậy chu kỳ tuần hoàn của hàm số  là .

° Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số, Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

* Phương pháp:

– Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số

– Bước 2: Dựa vào đồ thị vừa vẽ để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.

 Ví dụ 1 (Bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|

* Lời giải bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11: 

+ Hàm số y = sinx
đồ thị hàm số y = sinx

+ Hàm 

 

⇒ Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

 – Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0).

 – Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

⇒ Ta được đồ thị hàm số y = |sinx| là phần nét liền hình phía dưới.
đồ thị hàm số trị tuyệt đối sinx

 Ví dụ 2: Xác định các khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = |sinx| trên đoạn [0;2π].

* Lời giải: 

+ Từ đồ thị hàm số y = |sinx| ở trên, ta xét trong đoạn[0;2π] , ta có:

 – Hàm số đồng biến khi 

 – Hàm số nghịch biến khi 

° Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác

* Phương pháp:

– Vận dụng tính chất:  -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

 Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số sau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) Ta có:  

⇒ GTNN của y = -4 đạt được khi    ,(k ∈ Z)

⇒ GTLN của y = 6 đạt được khi  ,(k ∈ Z)

III. Bài tập vận dụng các dạng toán về hàm số lượng giác

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) 

b)

c)

Bài tập 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a)

b)

c)

 

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng