Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập

Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm các bài tập.

I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp.

– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

 Sn = a1 + a2 + . . . + an (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1

 Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 22

 Thử với n= 3,  ta có: S3 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32

 …   …   … 

– Ta dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n

• Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n(*)

 Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

 Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

 Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)

 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

 Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2 

 Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

 1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2

 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2+ (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒  1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

• Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1)

2) 

3) 

4) 

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp

– Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

 a1 = b1 – b2

 a2 = b2 – b3

 …   …   …

 an = bn – bn+1

⇒ Khi đó ta có: Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3)+…+(bn – bn+1) = b1 – bn+1

* Ví dụ 1: Tính tổng:

° Hướng dẫn: – Ta có:

    

  …; 

Dạng tổng quát: 

* Ví dụ 2: Tính tổng:

 

° Hướng dẫn: – Ta có:

  ;…; 

* Ví dụ 3: Tính tổng:

 

° Hướng dẫn: – Ta có:

 

 

 

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1+ 2(S – 2100) = 1+ 2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

 2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

 2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) – (1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ S = 2101 – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

 

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

* Ví dụ 2: Tính:  

 S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° Hướng dẫn:– Ta có:

 2S = 2(1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S + S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) + (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

⇔ 3S = 2101 + 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

* Ví dụ 3: Tính tổng:

 S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 

⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

 

* Ví dụ 4: Tính:

 S = 1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299 (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

 23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

 8S + S = (23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102)+(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 

• Tổng quát cho dạng toán này như sau: 

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được: 

 

III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Tổng = [(số đầu + số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

 S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

 S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: 

• Tính chất:

 

 

* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: 

– Mặt khác, lại có:

   (theo PP quy nạp ở mục I).

   (theo PP quy nạp ở mục I)

V. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

 a) S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100

 b) S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101

 c) 

 d) 

 

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng