Các dạng toán phương trình lượng giác, phương pháp giải và bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π – α + k2π, ()

– Nếu α thỏa mãn điều kiện  và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π – arcsina + k2π, ()

– Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 – β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

– Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

– Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

– Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

– Nếu α thỏa mãn điều kiện  và tanα = a thì ta viết α = arctana. Khi đó nghiệm của phương trình (3) là:

 x = arctana + kπ, ()

– Phương trình tanx = tanβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k1800, ()

4. Phương trình cotx = a. (4)

– Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là:

– Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cotα = a thì ta viết α = arccota. Khi đó nghiệm của phương trình (4) là:

 x = arccota + kπ, ()

– Phương trình cotx = cotβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k1800, ()

5. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

• Dạng: asinx + b = 0; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).

• Phương pháp giải:

– Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

• Dạng tổng quát: asin[f(x)] + b = 0 ; acos[f(x)]  + b = 0; atan[f(x)]  + b = 0; acot[f(x)]  + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).

6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng: asin2x + bsinx + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0).

• Phương pháp giải:

– Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

• Dạng tổng quát: asin2[f(x)] + bsin[f(x)] + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0). (các hàm cos, tan, cot tương tự).

7. Phương trình dạng asinx + bcosx = c (a≠0,b≠0).

• Phương pháp giải:

 ◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

 

 – Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 – Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

– Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

 

 – Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).

hayhochoi dn1

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

– Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a)     b)

b)

d)

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a)  

 

b) 

 

 

c) 

 

 

 

d) 

 

   

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

  

b) 

   

c) 

  

d) 

  

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

– Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

c) 

d) 

° Lời giải:

a)  

  

+ Với   hoặc 

+ Với   hoặc 

b)  

  

c) 

  

 

 

 

d)

  

  hoặc 

 

* Lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

 

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

  

  hoặc  với 

b)

  

  

 

  hoặc  với 

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

 

 

 

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

  

  

b)

  

  

c)

 

 

 

  hoặc 

  hoặc 

  hoặc  hoặc 

  hoặc  hoặc  với 

d)

 

 

 

 

 

 

  

  hoặc  hoặc 

* Lưu ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:

 

 

 

 

 

  

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

– Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

  

+ Với 

+ Với 

b)

 

 

 

  hoặc 

+ Với  

+ Với : vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

– Đặt  ta có: 2t2 – 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1 

+ Với t=1/2:  

  hoặc 

b) 

 

+ Đặt  ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 nên loại

   

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

 – Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,

 Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 – Nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

 

 – Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 – Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

– Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

 

 – Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có:  khi đó:

  

+ Đặt  ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

   

b) 

  

 

  hoặc 

  hoặc 

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:

  

 

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

– Đặt t = sinx + cosx, khi đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c – b = 0 (*)

– Lưu ý:  nên điều kiện của t là: 

– Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

– Phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx – cosx;  

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) – 4sinx.cosx – 1 = 0

b) sin2x – 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) – 4sinx.cosx – 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

  ⇔ 2t2 – 2t – 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

  

 

+ Tương tự, với 

 b) sin2x – 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

 

– Đặt t = sinx + cosx, khi đó:   thay vào phương trình ta được:

   

+ Với t=1 

 

  hoặc 

 hoặc 

+ Với : loại

III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Ta có: 

  

 

– Vậy với   thì 

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

 c) 

 d) 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

  

– Kết luận: PT có nghiệm

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

– Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

  

  hoặc 

  hoặc 

  hoặc 

d) 

  hoặc 

  hoặc 

  hoặc 

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Điều kiện: sin2x≠1

– Ta có:  

  

 

+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

– Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

(thỏa điều kiện)

– Xét k chẵn tức là: k = 2n

 (không thỏa ĐK)

– Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là 

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình:  sin2x – sinx = 0 

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Ta có: sin2x – sinx = 0

 

  

  hoặc 

– Kết luận: PT có tập nghiệm 

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x + .sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0  (1)

– Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0

  hoặc  (thỏa mãn ĐK).

+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k2π, (k ∈ Z)

+ Với   

– Kết luận: PT có nghiệm là ,

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng