Các dạng bài tập viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số dạng toán mà chúng ta thường gặp như: Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm (tiếp điểm); Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm; Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k,…

I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: 

– Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tai điểm M(x0;y0).

– Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;y0là: y=y(x0)(xx0)+y0

– Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến (PTTT) là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

II. Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến

° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến TẠI 1 ĐIỂM (biết Tiếp Điểm)

* Phương pháp:

– Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị (C): y=f(x) tại điểm M(x0;y0)

+ Bước 1: Tính đạo hàm y’=f'(x) ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến k=y'(x0)

+ Bước 2: PTTT của đồ thị tại điểm M(x0;y0) có dạng: y=y'(x0)(x-x0)+y0

* Lưu ý, một số bài toán đưa về dạng này như:

– Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm x0) thì tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y0=f(x0)

– Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm y0) thì tìm x0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x0)=y0

– Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C).

– Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+2x2 tại điểm M(-1;1)

° Lời giải:

– Ta có: y’=3x2 + 4x nên suy ra y'(x0) = y'(-1) = 3.(-1)2 + 4.(-1) = -1

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;1) là:

 y = y'(x0)(x – x0) + y(x0) ⇔ y = (-1).(x – (-1)) + 1 = -x

– Vậy PTTT của (C) tại điểm M(-1;1) là: y = -x.

* Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị (C):  và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

° Lời giải:

– Ta có: x0 = -1 ⇒ y0 = y(-1) = 1/2.

 

– Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của (C) là:

  

* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x4 – 2x2.

* Lời giải:

– Ta có y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

– Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành (Ox) là:

 

– Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.

– Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 và k = y'(x0) = 0 

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

– Với  và  

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:

– Với  và

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = -4√2 là:

– Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

 y = 0; y = 4√2x – 8 và y = -4√2x – 8

hayhochoi dn9

° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM

* Phương pháp:

– Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị

+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA;yA) có hệ số góc k có dạng:

 d: y=k(x-xA)+yA (*)

+ Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm

+ Bước 1: Gọi M(x0;f(x0)) là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k=f'(x0) theo x0.

+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) (**)

 Vì điểm A(xA;yA) ∈ (d) nên yA=f'(x0)(xA-x0)+f(x0) giải phương trình này tìm được x0.

+ Bước 3: Thay x0 tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.

* Ví dụ 1: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4x3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).

° Lời giải:

– Ta có: y’ = -12x2 + 3

– Đường thẳng d đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + 2

– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

  

 

 ⇔ x = -1 hoặc x = 1/2.

• Với x = -1 ⇒ k = -12.(-1)2 + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 7

• Với x = 1/2 ⇒ k = -12.(1/2)2 + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2

• Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2) là: y = -9x – 7 và y = 2.

* Ví dụ 2: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C):  đi qua điểm A(-1;4).

° Lời giải:

– Điều kiện: x≠1; Ta có: 

– Đường thẳng (d) đi qua A(-1;4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4

– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

  

 

– Ta thấy x = -1 (loại), x = -4 (nhận)

– Với x = -4 ⇒  phương trình tiếp tuyến là: 

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết Hệ số góc k

* Phương pháp:

– Bài toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

+ Bước 1: Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm và tính y’=f'(x)

+ Bước 2: Khi đó,

  – Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f'(x0)

  – Giải phương trình k=f'(x0) này ta tìm được x0, từ đó tìm được y0.

+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:

 (d): y=y’0(x-x0)+y0

* Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.

• Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.

• Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc α thì k=±tanα.

* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:

 

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

° Lời giải:

– Ta có: y’ = 3x2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0)

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y'(x0

 ⇔ 

– Với x0 = 2 ⇒ y0 = (2)3 – 3.(2) + 2 = 4 ta có tiếp điểm M1(2;4)

 Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:

– Với x0 = -2 ⇒ y0 = (-2)3 – 3.(-2) + 2 = 0 ta có tiếp điểm M2(-2;0)

 Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2:

– Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là:

 (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):  song sóng với đường thẳng Δ: 3x – y + 2 = 0.

° Lời giải:

– Ta có: ; và 

– Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là:

– Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 3x + 2 nên ta có:

  

• Với x0 = -1 thì  ta có tiếp điểm M1(-1;-1)

– Phương trình tiếp tuyến tại M1 là (d1): y = 3(x + 1) – 1 ⇔ y = 3x + 2

 Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d1≡Δ nên loại.

• Với x0 = -3 thì  ta có tiếp điểm M2(-3;5)

– Phương trình tiếp tuyến tại M2 là (d2): y = 3(x + 3) + 5 ⇔ y = 3x + 14

• Vậy đồ thị (C) có 1 tiếp tuyến // với Δ là (d2): y = 3x + 14

* Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (Δ):

* Lời giải:

– Gọi đườn thẳng (d) có hệ số góc k là tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ) có dạng: y = kx + b

– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng (Δ):  nên suy ra k = -6; khi đó pttt (d) có dạng: y = -6x + b.

– Để (d) tiếp xúc với (C) thì hệ sau phải có nghiệm:

 

⇒ phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với (Δ) là: y = -6x + 10.

* Cách giải khác:

– Ta có hệ số góc của tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) là y’ = -4x3 – 2x.

– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với (Δ):  nên:

  (vì 2x2 + 2x + 3 > 0, ∀x).

– Với x = 1 suy ra y = -14 – 12 + 6 = 4 và y'(1) = -4.13 – 2.1 = -6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;4) là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m

* Phương pháp:

– Vận dụng phương pháp giải một trong các dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.

* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1.

° Lời giải:

– TXĐ: D = R

– Ta có: y’ = 3x2 – 6x

– Điểm M có hoành độ x0 = 1 ⇒ . Vậy điểm tọa độ điểm M(1;-2)

– Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(1;-2) của (C) có dạng:

 y – y0 = y'(x0)(x – x0) ⇔ y + 2 = (3.12 – 6.1)(x – 1) ⇔ y = -3x + 1

– Khi đó để (d) // Δ

– Khi đó pt đường thẳng Δ: y = -3x + 3

– Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại M(1;-2) song sóng với Δ.

* Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x – 4y + 1 = 0.

° Lời giải:

– TXĐ: D = R

– Ta có: y’ = 4x3 – 4(m+1)x

– Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A,

 khi đó hệ số góc của (d) là: k = y'(1) = 4 – 4(m + 1) = -4m

– Theo đề ra: 

– Do đó: d ⊥ Δ ⇔ k = -4 ⇔ -4m = -4 ⇔ m = 1

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng