Các dạng bài tập về tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

Ngoài những bài tập xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể, tường minh thì dạng toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập số thực R hay trên một khoảng cho trước có tham số sẽ khó hơn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số cần nhớ.

1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

– Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

– Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K

hayhochoi dn2

II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không có tham số)

* Phương pháp:

– Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f'(x)

– Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

– Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên

– Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a)

b)

c)

° Lời giải:

a)

– Tập xác định : D = R

– Ta có: y’ = 3 – 2x

– Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.

– Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4

– Ta có bảng biến thiên:

câu a bài 1 trang 9 sgk toán giải tích 12

– Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2;+∞).

b)

– Tập xác định: D = R

– Ta có: y’ = x2 + 6x – 7

– Cho y’ = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7

– Tại x = 1 ⇒ y = (-17)/3;  Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.

– Ta có bảng biến thiên:

câu b bài 1 trang 9 sgk giải tích toán 12

– Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞;-7) và (1;+∞); nghịch biến trong khoảng (-7;1).

c)

– Tập xác định: D = R

– Ta có: y’= 4x3 – 4x.

– Cho y’ = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

– Tại x = 0 ⇒ y = 3;  Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2

– Ta có bảng biến thiên:

câu c bài 1 trang 9 sgk giải tích toán 12

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a)     b)

c)     d)

° Lời giải:

a)

– Tập xác định: D = R {1}

– Ta có: 

 Vì y’ không xác định tại x = 1

– Ta có bảng biến thiên sau:

câu a bài 2 trang 10 sgk toán giải tích 12

– Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

b) Học sinh tự làm

c)

– Tập xác định: D = (-∞;-4]∪[5;+∞)

– Ta có: 

– Cho 

 y’ không xác định tại x = -4 và x = 5

– Ta có bảng biến thiên sau

câu c bài 2 trang 10 sgk toán giải tích 12

– Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-4); đồng biến trong khoảng (5;+∞).

d) Học sinh tự làm

° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m

* Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

* Phương pháp:

Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax+ bx+ cx + d; (a≠0).

+ Tính f'(x) =3ax+ 2bx + c, khi đó:

– Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R 

– Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R

Đối với hàm phân thức bậc nhất: 

+ Tính , khi đó:

– Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay (ad-bc)>0

– Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'<0 hay (ad-bc)<0

* Ví dụ 1: Cho hàm số: f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

° Lời giải:

– TXĐ: D = R

– Tính f'(x) = 3x2 – 6mx + 3(2m – 1)

 Đặt g(x) = 3x2 – 6mx + 3(2m – 1) có a = 3; b = -6m; c = 3(2m – 1);

– Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:

 

– Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

* Ví dụ 2: Cho hàm số: . Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

° Lời giải:

– TXĐ: R{-m}.

– Ta có:

– Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

 

– Kết luận: Vậy với -2 < m < 1 thì hàm số nghịch biến trên tập xác định.

* Hàm đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC

* Phương pháp:

– Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).

– Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.

* Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 3(m + 1)x  – (m+1)  (*)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

° Lời giải:

– TXĐ: D = R

– Ta có: f'(x) = 3x2 – 6x – 3(m + 1)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

– Để hàm số đồng biến trên [1;+∞) thì f'(x)≥0, ∀x ∈ [1;+∞).

 ⇒ 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x2 – 2x – m – 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x2 – 2x – 1 ≥ m, ∀x ∈ [1;+∞)

– Đặt y(x) = x2 – 2x – 1 ⇒ y’ = 2x – 2

– Cho y’ = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

 tính đơn điệu hàm số có tham số

– Từ bảng biến thiên ta có:  

 

– Kết luận: Vậy với m ≤ -2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

– Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f'(x)≤0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x2 – 2x – m – 1 ≤ 0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x2 – 2x – 1 ≤ m, ∀x ∈∀x ∈ [-1;3].

– Đặt y(x) = x2 – 2x – 1  ⇒ y'(x) = 2x – 2

– Cho y(x) = 0  ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

tính đơn điệu hàm số có tham số

– Từ bảng biến thiên ta có:

 

– Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [-1;3].

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng