Các dạng bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn và đặc biệt vận dụng các công thức này để giải các bài tập liên quan để rèn kỹ năng giải toán vận dụng công thức.

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

 

tỉ số lượng giác của góc nhọn • sinα = cạnh đối/cạnh huyền 

 • cosα = cạnh kề/cạnh huyền 

 • tanα = cạnh đối/cạnh kề 

 •  cotα = cạnh kề/cạnh đối 

* Cách nhớ gợi ý: Sin = Đối/Huyền; Cos Kề/Huyền; Tan = Đối/Kề; Cot – Kề/Đối nên cách nhớ như sau: Sin ĐHọc, Cos Không Hư, Tan Đoàn Kết, Cot Kết Đoàn.

Ngoài ra khi giải các bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn các em cũng sẽ vận dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông.

2. Các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn

° Dạng 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc

* Ví dụ 1 (Bài 15 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1): Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

* Lời giải:

– Ta có: Góc B và góc C là 2 góc phụ nhau, tức là: 

 ∠B + ∠C = 90o nên sinC = cosB = 0,8

– Từ công thức sin2C + cos2C = 1 ta suy ra:

  (do góc C nhọn nên sinC, cosC >0).

 

– Lại có: 

 

– Vật sinC = 0,8; cosC = 0,6; tanC = 4/3; cotC = 0,75.

* Ví dụ 2 (Bài 16 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1): Cho tam giác vuông có một góc 60o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60o.

Bài 16 trang 77 sgk toán 9 tập 1* Lời giải:

– Như minh họa hình trên, cạnh đối diện với góc 600 là AC, ta có:

 

* Ví dụ  (Bài 17 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x trong hình:

Bài 17 trang 77 sgk toán 9 tập 1* Lời giải:

– Ta ký hiệu như hình trên.

– Vì ∠B = 45nên ∠HAB = 90o – 45= 45(góc B, và góc HAB phụ nhau trong tam giác vuông ABH)

 Suy ra tam giác ABH là tam giác vuông cân tại H, nên AH = HB = 20 

– Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:

 x2 = AH2 + HC2 = 202 + 212 = 841

 

° Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

* Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos4α – sin4α = cos2α – sin2α 

b) sin4α + cos2α.sin2α + sin2α = 2sin2α

* Lời giải:

a) cos4α – sin4α = cos2α – sin2α 

– Ta biến đổi vế phải của đẳng thức:

 VP = cos4α – sin4α = (cos2α)2 – (sin2α)2

 = (cos2α – sin2α)(sin2α + cos2α)

 =(cos2α – sin2α).1 = cos2α – sin2α = VT

→ Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) sin4α + cos2α.sin2α + sin2α = 2sin2α

– Ta có:

 VP =  sin4α + cos2α.sin2α + sin2α

 = sin2α.(sin2α + cos2α + 1)

 = sin2α.(1 + 1) = 2.sin2α = VT

→ Vậy đẳng thức được chứng minh.

* Ví dụ 2: Tam giác nhọn ABC có diện tích S, đường cao AH = h. Cho biết S = h2, Chứng minh rằng cot⁡B + cot⁡C = 2.chứng minh đẳng thức* Lời giải:

– Theo công thức tính diện tích tam giác thì: 

– Theo bài ra thì SABC = h2 nên ta có: 

– Mà 

 

→ Vậy ta có điều phải chứng minh.

° Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

* Ví dụ : Tính giá trị của các biểu thức sau mà không dùng bảng số hoặc máy tính

a) A = sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750

b) B = 4cos2α – 3sin2α với cosα = 4/7.

* Lời giải:

a) A = sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750

 =(sin2150 + sin2750) + (sin2250 + sin2650 ) + (sin2350 + sin2550) + sin2450

 = (sin2150 + cos2150) + (sin2250 + cos2250 ) + (sin2350 + cos2350 ) + sin2450

 = 1 + 1 + 1 + 1/2 = 7/2

b) B = 4cos2α – 3sin2α với cosα = 4/7

– Ta có: sin2α + cos2α = 1

 ⇔ sin2α = 1 – cos2α = 1 – (4/7)2 = 33/49

– Suy ra: B = 4cos2α – 3sin2α = 4.(16/49) – 3.(33/49) = -5/7.

° Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc giá trị của góc nhọn

* Ví dụ: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

a) cos2α.cos2β + cos2α.sin2β + sin2 α

b) 2(sin⁡α – cos⁡α)2 – (sin⁡α + cos⁡α)2 + 6sin⁡α.cos⁡α

c) (tan⁡α – cot⁡α)2 – (tan⁡α + cot⁡α)2

* Lời giải:

a) cos2α.cos2β + cos2 α.sin2β + sin2α

 = cos2α(cos2β + sin2β) + sin2α

 = cos2α.1 + sin2α = 1

b) 2(sin⁡α – cos⁡α)2 – (sin⁡α + cos⁡α)2 + 6 sin⁡α.cos⁡α

 = 2(sin2α + cos2α – 2sinα.cos⁡α) – (sin2α + cos2α + 2sinα.cos⁡α) + 6sinα.cos⁡α

 = 2(1 – 2sinα.cos⁡α) – (1 + 2sinα.cos⁡α) + 6sinα.cos⁡α

 = 1 – 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α = 1

c) (tan⁡α – cot⁡α)2 – (tan⁡α + cot⁡α)2

 = (tan2α – 2.tan⁡α.cotα + cot2α) – (tan2α + 2tan⁡α.cotα + cot2α)

 = -4 tan⁡α.cotα = -4.1 = -4

+ Nếu không khai triển dạng hẳng đẳng thức dạng (A-B)2 và (A+B)2 như trên, các em có thể sử dụng dạng A2 – B2 = (A – B)(A + B), khi đó:

 (tan⁡α – cot⁡α)2 – (tan⁡α + cot⁡α)2

 = [(tan⁡α – cot⁡α) – (tan⁡α + cot⁡α)][(tan⁡α – cot⁡α) + (tan⁡α + cot⁡α)]

 = (-2cot⁡α).(2tan⁡α) = -4.cot⁡α.tan⁡α = -4.1 = -4.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng