Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải

Trong bài viết này, chúng ta cùng rèn luyện kỹ năng giải các bài tập về xét dấu của tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 với các dạng toán khác nhau. Qua đó dễ dàng ghi nhớ và vận dụng giải các bài toán tương tự mà các em gặp sau này.

I. Lý thuyết về dấu tam thức bậc 2

1. Tam thức bậc hai

– Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.

a) f(x) = x2 – 3x + 2

b) f(x) = x2 – 4

c) f(x) = x2(x-2)

° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

2. Dấu của Tam thức bậc hai

* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.

– Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

– Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

– Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 (với x1<x2) là hai nghiệm của f(x).

 [Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng]

* Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Tìm nghiệm của tam thức

– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

II. Lý thuyết về Bất phương trình bậc 2 một ẩn

1. Bất phương trình bậc 2

– Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

* Ví dụ: x2 – 2 >0; 2x2 +3x – 5 <0;

2. Giải bất phương trình bậc 2

– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

III. Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x2 – 3x + 1

b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36

d) (2x – 3)(x + 5)

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 5x2 – 3x + 1

– Xét tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

– Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2x2 + 3x + 5

– Xét tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0

– Ta có bảng xét dấu:

Bảng xét dấu câu b bài 1 trang 105 sgk đại số 10

 f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) x2 + 12x + 36

– Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 144 – 144 = 0.

– Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu c bài 1 trang 105 sgk đại số 10

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 với ∀x ≠ –6

 f(x) = 0 khi x = –6

d) (2x – 3)(x + 5)

– Xét tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu d bài 1 trang 105 sgk đại số 10

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

 f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

d) f(x) = [(3x2 – x)(3 – x2)]/[4x2 + x – 3]

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

– Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

– Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

– Ta có bảng xét dấu:

 ví du 2 bài 2 a trang 105 sgk đại số 10

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

– Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

– Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2b bài 2 trang 105 sgk đại số 10

– Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

– Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

– Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm.

– Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

– Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2c bài 2 trang 105 sgk đại số 10

– Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

d) f(x) = [(3x2 – x)(3 – x2)]/[4x2 + x – 3]

– Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

– Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

– Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

– Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2d bài 2 trang 105 sgk đại số 10

– Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

 f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

° Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 – x + 1 < 0

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

c) 

d) x2 – x – 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 4x2 – x + 1 < 0

– Xét tam thức f(x) = 4x2 – x + 1

– Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

– Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4

– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

⇒  f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]

c)  (*)

– Điều kiện xác định: x2 – 4 ≠ 0 và 3x2 + x – 4 ≠ 0

 ⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.

– Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:

 (*) ⇔ 

– Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

– Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

– Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

– Ta có bảng xét dấu như sau:

bảng xét dấu câu 3c bài 3 trang 105 sgk đại số 10

– Từ bảng xét dấu ta có:

 (*) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 – x – 6 ≤ 0

– Xét tam thức f(x) = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 (*)

• Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

 Δ’ = b’2 – ac = (2m – 3)2 – (m – 2)(5m – 6)

 = 4m2 – 12m + 9 – 5m2 + 6m + 10m – 12

 = -m2 + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (-m + 3)(m – 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

– Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*)

• Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

 Δ’ = b’ – ac = (m + 3)2 – (3 – m)(m + 2)

 = m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m

 = 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

– Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng