Bài tập về đồ thị hàm số bậc hai, các dạng toán và cách giải

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức về hàm số bậc hai ở lớp 9, đặc biệt tập trung vào phần Bài tập về đồ thị của hàm số bậc hai để các em nắm vững được phương pháp giải dạng toán này.

I. Hàm số bậc hai – kiến thức cần nhớ

Tổng quát, hàm số bậc hai y = ax2 (a≠0) xác định với mọi giá trị của x∈R.

1. Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2

• Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0.

• Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0.

> Nhận xét:

• Nếu a>0 thì y>0 với mọi x≠0; y=0 khi x=0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y=0.

• Nếu a<0 thì y<0 với mọi x≠0; y=0 khi x=0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y=0.

2. Đồ thị của hàm số y = ax2

• Đồ thị của hàm số y = ax2 (a≠0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.

• Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

• Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol

Cho đường thẳng (d): y=ax+b (a≠0) và parabol (P): y = kx2 (k≠0)

Khi đó, để xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và parabol (P) ta xét phương trình: kx2 = ax + b (1).

– Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau.

– Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

– Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

Một số dạng bài tập về vị trí tương đối của (d) và (P):

* Tìm số giao điểm của (d) và (P)

Khi đó: Xét phương trình kx2 = ax + b (1)

– Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau.

– Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

– Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

– Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình: kx2 = ax + b

* Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

– Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)

– Ta giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Thay giá trị x này vào công thức hàm số của (d) (hoặc (P)) ta tìm được y. Từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm.

* Hàm số chứa tham số. Tìm điều kiện của tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

– Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) từ đó tính biệt thức delta và hệ thức Vi-et để giải bài toán với điều kiện cho sẵn.

II. Bài tập hàm số bậc hai có lời giải

* Bài tập 1 (Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2): Vẽ đồ thị của hai hàm số  và  trên cùng một hệ trục tọa độ.

a) Đường thẳng đi qua B(0; 4) và song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.

b) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:

– Ước lượng trên hình vẽ;

– Tính toán theo công thức.

* Lời giải:

a) Ta lập bảng giá trị:

– Bảng giá trị:




x -4 -2 0 2 4
y=x2/4 4 1 0 1 4
y=-x2/4 -4 -1 0 -1 -4

Đồ thị hàm số có dạng như sau:

Đồ thị hàm số bậc hai bài 54 skg toán 9a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox có dạng: y=4. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=4 và đồ thị hàm số  là:

 

– Từ đó ta có hoành độ của M là x = 4 của M’ là x = -4.

đồ thị hàm số bậc hai bài 54 skg toán 9b) Trên đồ thị hàm số  ta xác định được điểm N và N’ có cùng hoành độ với M,M’. Ta được đường thẳng M,M’. Ta được đường thẳng NN’//Ox.

Tìm tung độ của N và N’

– Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = -4; của N’ là y = -4.

– Tính toán theo công thức:

Điểm N(4;y) thay x = 4 vào  nên được yN = -4.

Điểm N'(-4;y) thay x = -4 vào  nên được yN’ = -4.

Vậy tung độ của N, N’ cùng bằng -4. Ta có: N(-4;-4) ; N’(4;-4).

* Bài tập 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số: y = f(x) = (m – 1)x2  (*)

a) Xác định m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm M(2;4)

b) Với m=0. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (*) với đồ thị hàm số y = 2x – 3.

* Lời giải:

a) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m – 1)x2 đi qua điểm M(2;4) thì ta có:

 4 = (m – 1).22 ⇔ 4 = 4m – 4 ⇔ 4m = 8 ⇔ m = 2.

Vậy với m = 2 thì đồ thị hàm số (*) đi qua điểm (2;4). Khi đó hàm số là y = x2.

 b) với m = 0, ta thay vào công thức hàm số được y = f(x)  = -x2

– Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = -x2 với hàm số y = 2x – 3 là nghiệm của hệ phương trình:

 

– Giải phương trình: x2 + 2x – 3 = 0 ta thấy

 a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình này có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = -3.

• Với x1 = 1 ⇒ y1 = -(1)2 = -1 ⇒ A(1;-1)

• Với x2 = -3 ⇒ y2 = -(-3)2 = -9 ⇒ B(-3;-9)

Vậy với m=0 thì đồ thị hàm số y = -x2 và đồ thị hàm số y = 2x – 3 tại 2 điểm phân biệt là: A(1;-1) và B(-3;-9).

* Bài tập 3: Co parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): 

a) Xác định a để (P) cắt (d) tại điểm A có hoành độ bằng -1.

b) Tìm tọa độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d).

c) Tính độ dài AB.

* Lời giải:

a) Để đường thẳng (d) đi qua A có hoành độ bằng -1 thì ta thay x = -1 vào công thức hàm số  được: 

Vậy tọa độ điểm A là (-1;0,5).

Parabol (P) đi qua A nên tọa độ của A phải thỏa hàm số y = ax2. Ta thay x = -1; y = 0,5 vào hàm số y = ax2 được:

 0,5 = a.(-1)2 ⇒ a = 0,5. Khi đó parabol (P) là: 

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

 

Để ý a – b + c = 1 – (-2) – 3 = 0 nên ta thấy phương trình có 2 nghiệm x1 = -1 và x2 = 3.

Với x2 = 3 ⇒ y2 = 3 + 3/2 = 9/2 = 4,5.

⇒ Tọa độ điểm B là (3;4,5).

c) Ta có, chiều dài AB áp dụng công thức

   

 Vậy 

* Bài tập 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P):  và đường thẳng (d): . Gọi M(x1;y1) và N(x2;y2) là giao điểm của (P) và (d). Hãy tính giá trị biểu thức .

* Lời giải:

– Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:  

  

Với x1 = 2 ⇒ y1 = 2 ⇒ M(2;2)

Với x2 =-3/2 ⇒ y2 = 9/8 ⇒ N(-3/2;9/8)

Vậy 

* Bài tập 5: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = (2m – 1)x – m + 2 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt M(x1;y1) và N(x2;y2) thỏa x1y1 + x2y2 = 0.

* Bài tập 6: Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2mx – 4m (với m là tham số)

a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=-1/2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x1; xthỏa mãn |x1| + |x2| = 3.

* Bài tập 7: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): ax + y = 1.

a) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Xác định a để AB độ dài ngắn nhất và tính độ dài ngắn nhất này.

* Bài tập 8: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): y = mx + n. Xác định m, n để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và có duy nhất một điểm chung với (P).

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Toán học

Bài viết hay nhất

Trắc nghiệm tiếng anh 11 unit 4: Volunteer work (P1)
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Cách Bảo Quản Cùi Bưởi Để Nấu Chè Ăn, Để Bảo Quản Được Lâu Mà Vẫn
Trắc nghiệm lịch sử 11 bài 6: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 – 1918) (P1)
Giải GDQP- AN 11 bài 3: Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ và biên giới quốc gia
Giải GDQP- AN 10 bài 2: Lịch sử, truyền thống của Quân đội và Công an nhân dân Việt Nam
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Giải Thích Về Đồ Thị Pha Phối Khí Trên Động Cơ, Cấu Tạo Hệ Thống Phối Khí Trên Động Cơ
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Cách Nấu Nước Cốt Dừa Đóng Hộp Đảm Bảo Nhất, Cách Dùng Nước Cốt Dừa Đóng Hộp
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Diện Áo Lông Đa Phong Cách Phối Đồ Với Áo Khoác Lông Ngắn, 3 Tips Mặc Áo Khoác Lông Sang Chảnh Như Sao
Trắc nghiệm sinh học 11 bài 8: Quang hợp ở thực vật
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Top 12 Cách Phối Đồ Với Áo Măng Tô Ngắn, 8 Cách Phối Đồ Với Măng Tô Nam Nữ
Trắc nghiệm công dân 9 bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Phối Đồ Đi Đám Cưới Cho Nữ Mùa Đông Đẹp, Cách Chọn Trang Phục Mặc Đi Đám Cưới Mùa Đông
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Sử Dụng Nồi Nấu Cháo Chậm Trung Quốc, Nồi Kho Cá Hầm Cháo Chậm Đa Năng Yibao 1,5 Lít
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Phối Đồ Với Quần Jean Ống Suông Mùa Đông Cực Đẹp Và Khí Chất
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng
Cách Nấu Chè Trôi Nước Bằng Bột Năng Ngon Độc Đáo, Cách Nấu Chè Trôi Nước Ngon Dẻo Mềm Không Bị Cứng